Кириш §. Лобачевский ва унинг аксиомалари

3-§. Лобачевский текислигида эгри чизиқлар
Айлана – муайян нуқтадан тенг узоқликда ётган нуқталар тоʻплами. Айлананинг узунлиги қуйидаги формула орқали ҳисобланади: C = 2πР. Бу формулада π — оʻзгармас сон (константа), Р эса айлана радиуси ҳисобланади.
Айлана текисликда ҳамма нуқталари белгиланган нуқтадан баробар узоқликда ётган ёпиқ эгри чизиқ ҳам ҳисобланади. Белгиланган нуқта айлана маркази, марказдан айлана нуқтасигача масофа айлана радиуси дейилади. Марказлари умумий, радиуслари ҳар хил Айланалар консентрик айланалар деб аталади. Айлана икки нуқтасини туташтирувчи кес-ма айлана ватари, марказдан оʻтувчи ватар айлана диаметри деб аталади. Учи айлана марказида, томонлари радиусдан иборат бурчак мар-казиймарказий дейилади. Айлана боʻлаклари айлана ёйи деб аталади. Айлана тушунчаси фақат текисликда эмас, ихтиёрий силлиқ сиртлар оʻртасида ҳам қаралиши, бунда унинг шакли мураккаб боʻлиши мумкин
Ма`лумки, Евклид текислигидаги икки чизиқ —то`г`ри чизиқ билан айлана о`зининг ажойиб бир хоссаси билан бошқа чизиқлардан ажралиб туради. Бу хосса шундан иборатки, бу чизиқлар о`з шаклини о`згартирмасдан о`з-о`зи бо`й`лаб сирпанади. Бундай хоссага эга чизиқларни о`згармас эгриликка эга чизиқлар деб аталади.Бундай хоссали икки чизиқнинг мавжудлиди Евклид текислигидаги икки то`г`ри чизиқнинг о`заро икки хил — кесишувчи ва параллел ҳолда жойланиши билан узвий бог`лангандир. Бу эса о`з ё`лида Евклид текислигида то`г`ри чизиқларнинг икки хил дастаси борлигининг натижасидир: 1) даста маркази деб аталдиган нуқтадан о`тган барча то`г`ри чизиқлар то`плами (марказли даста); 2) бир то`г`ри чизиққа параллел бо`лган барча то`г`ри чизиқлар то`плами (марказсиз даста). Марказли дастанинг ортҳогонал траекторияси айланадан, марказсиз дастанинг ортҳогонал траекторияси эса то`г`ри чизиқдан иборат.
Лобачевский текислигида ҳам юқоридаги хоссага эга бо`лган бундай чизиқларнинг мавжудлиги то`г`ри чизиқларнинг о`заро жойлашувига бог`лиқдир. Лобачевский текислигида икки то`г`ри чизиқ кесишувчи (яқинлашувчи), о`заро параллел (ма`лум ё`налишда) ва узоқлашувчи бо`лиши мумкин, я`ни лобачевский текислигида то`г`ри чизиқларнинг уч хил дастаси мавжуд:1)битта нуқтада кесишувчи барча то`г`ри чизиқлар то`плами эллиптиc даста деб юритилади: 2)бирор то`г`ри чизиқнинг белгили ё`налишида унга параллел бо`лган барча то`г`ри чизиқлар то`плами параболиc даста деб аталади; 3)тайин то`г`ри чизиққа перпендикуляр бо`лган барча то`г`ри чизиқлар, я`ни узоқлашувчи то`г`ри чизиқлар то`плами гиперболик даста деб аталади. Бу уч хил дастанинг мавжудлиги муносабати билан доимий эгриликка эга бо`лган уч хил эгри чизиқ борлигини ко`рсатамиз. Бунинг учун аввал ба`зи тушунчаларни киритайлик.
Ихтиёрий икки а, б то`г`ри чизиқни учинчи c то`г`ри чизиқ кесиб о`тганда ҳосил бо`лган ички бир томонли бурчаклар тенг бо`лса я`ни( ), c то`г`ри чизиқ а, б нинг тенг ог`ишли кесувчиси деб аталади.