Keysi teoremasi – “Casey’s theorem” (Umumlashgan Ptolemey Teoremasi)

Bu lemma orqali, Keysi teoremasini ikkala tomonga ham isbotlashimiz mumkin:

Isbotni boshlashdan oldin, eng kichik radiusli aylanani belgilab olish muhim rol o‘ynaydi. Bu   aylana bo‘lsin.  Endi, sistemani   radiusga kichiklashtiramiz, bunda hech bir aylananing markazi o‘zgarmaydi, shunchaki radiuslari    ,  ,  ,   ga o‘tadi. Shunga mos ravishda, barcha aylananing mos nuqtalari ham mos ravishda ko‘chiriladi. Oxirgi, 4- aylana nollik aylanaga aylanib qoladi, ya‘ni u bitta   nuqtaga o‘tadi (3-rasm ga qarang, unda qanday ko‘chirilishi akslantirilgan). Ma‘lumki, aylanalarning umumiy urinmalari uzunluklari o‘zgarmaydi va agar   aylanalarga urinuvchi   aylana mavjud bo‘lsa, yangi hosil bo‘lgan aylanalarga urinuvchi aylana ham mavjud bo‘ladi. Aniqrog‘i, biz  aylanalarni, qisqartirish natijasida hosil bo‘lgan aylanalarga almashtira olamiz. Bu bizga, to’g’ridan-to’g’ri   deb faraz qilish imkonini beradi.    

Endi,   markazli va ixtiyoriy   radiusli inversiyani qaraylik. Yuqorida keltirilgan 2-Lemmadan, biz quyidagilarni topamiz:

Demak, bizdagi   tenglik,   ga teng kuchli. Buning ma’nosi shuki, uchta   aylanalar umumiy urinmaga ega, ya’ni   tenglik bajariladi agar va faqat, agar   aylanalarga urinuvchi umumiy urinma mavjud bo’lsa. Teskari inversiya orqali, bu umumiy urinma aynan biz qidirayotgan aylanaga, ya’ni   nuqtadan o’tib   aylanalarga urinuvchi aylanaga o’tadi.

Isbot tugadi.



   ♦ Izoh. Keysi teoremasini bir nechta tadbiqlari bor. Masalan, Feyerbax teoremasiga, Emelyanov teoremasiga to’g’ridan-to’g’ri qo’llash mumkin. Bundan tashqari ko’plab olimpiada masalalariga to’liq yoki qisman qo’llash mumkin.

•