Keysi teoremasi – “Casey’s theorem” (Umumlashgan Ptolemey Teoremasi)

1 – Lemma.      aylana berilgan va u 2 ta   ,     aylanalarga mos ravishda    va     nuqtalarda urinadi. Agar   ularning umumiy urinmasi bo‘lsa, bu yerda   va  , u holda   bo‘ladi (  aylanalarning   aylanaga qanaqa urinishiga bog’liq).

Lemmaning isbotini   va   lar bitta to’g’ri chiziqda yotishidan va   dan foydalangan holda oson keltirish mumkin. Biz bunga to’xtalmasdan, bu 1-Lemma dan qanday foydalanish haqida o’ylaymiz.

Faraz qilaylik,   aylanalar   aylanaga mos ravishda $A,B,C,D$ nuqtalarda urinsin va ularning radiuslarini   deb,    ni radiusini   deb olaylik. Demak, biz 1-Lemma dan quyidagilarga egamiz: 

Ravshan-ki,   aylanada yotgan   nuqtalar uchun Ptolemey teoremasining o‘zidan va yuqoridagi tengliklardan

ni topamiz. Isbot tugadi.

Aslida, Ptolemey teoremasi bu Keysi teoremasining nollik aylanalar orqali ifodalanishi, ya‘ni xususiy holi va eng sodda ko‘rinishi deyish mumkin. Yuqoridagi isbot qisqacha “warm up” edi. Endi, asosiy qismga o‘tsak:  ya’ni, bizni asosiy hisoblangan 1-Teorema kutmoqda.  

Umuman olganda 2-Teoremani isbotlashda ham bunday hisob-kitoblarni ortda qoldirib, isbotlash ham mumkin.  Qolaversa, hali teoremaning teskari holi bizga qarab turibdi va unga yuqorida keltirilgan analitik yo’lni davom ettirish ancha dargumon. Keysi teoremasini isbotlashning asosiy va nominal varianti – bu inversiya. To‘g‘ri, Ptolemey teoremasini o‘zini ham inversiya orqali keltirish mumkin. Lekin bu juda oddiy ko‘rinish, hozir bizga inversiyani juda kuchli qo‘llash talab etiladi. Inversiyani yaxshi tushunganlar uchun bu isbot hech qanday qiyinchilik tug‘dirmaydi. Keysi teoremasini butunligicha, bittada isbotlaymiz.