Keysi teoremasi – “Casey’s theorem” (Umumlashgan Ptolemey Teoremasi)

1-Teoremaning isboti. (Biz 1-rasm dagi holat bo’yicha ishlaymiz) Teoremani isbotlashdan oldin, quyidagi lemmaga e‘tibor qarataylik.

2 – Lemma. Ixtiyoriy ikkita  ,   aylana berilgan va   – ularning umumiy tashqi urinmasi,   – ularni umumiy ichki urinmasi bo‘lsin. Markazi ikkita aylananing umumiy sohasida(agar kesishsa) yoki umuman ikkalasining ham tashqarisida yotgan ixtiyoriy inversion ko‘chirishdan qat’iy nazar   va   nisbatlar invariant bo’lib qoladi, ya’ni o’zgarmaydi.

Lemmaning isboti. Aylanalarni markazlari   nuqtalar ekan,   to’g’ri chiziq bu aylanalarni   nuqtalarda kesib o’tsin (2-rasm ga qarang).

Agar   desak,   keladi. Ixtiyoriy, 2 ta aylanaga ham ortogonal bo‘lgan aylana olsak, bu aylanani markazi aniq  aylanalarning radikal o‘qida yotadi va bu aylana   aylanalarni   nuqtalarda kessin (2-rasm ga qarang).   nuqta ushbu aylananing   aylanalarning umumiy radical o’qi bilan kesishish nuqtasi bo’lsin (aytaylik, shu ikkita nuqtaning bittasi). U holda   nuqta markazli ma’lum bir koeffisiyentli inversiyani olib,   aylanalarni o’zini-o’ziga o’tkazadigan qilish mumkin va quyidagi nisbat keladi:

Endi, ixtiyoriy inversiyani olib ko’chirsak:  ,   va  ,  ,  ,  , umuman olganda biz baholayotgan sistema boshqa sistemaga o’tadi (faqat inversion ko’chadi) va

ga ega bo’lamiz. Xuddi shunday,    uchun ham isbotlash mumkin.  Lemmaning isboti tugadi.