Karrali xosmas integralning ta’rifi

2.3.2-teorema. Agar karrali xosmas integral yaqinlashsa, u holda u absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, teoremaning tasdig’i noto’g’ri. U holda 2.2 teoremaga ko’ra integrallar ketma-ketligi monoton chegaralanmagan musbat cheksiz katta. Bu yerda - to’plamni qoplovchi ochiq o’lchovli to’plamlar. shunday to’plamlar ketma-ketligini tanlaymizki, bu uchun
, . (7)
Shuni payqash mumkinki, bundy ketma-ketlikni tanlash uchun to’plamni qoplovchi ochiq Jordan o’lchovi to’plamni olish va unda (7) shartni qanoatlantirmaydigan larni tashlab yuborishdan hosil qilish mumkin. bilan
to’plamni belgilaymiz. Karrali integralni xossasiga ko’ra m da

ekanligidan

kelib chiqadi. Har bir tayinlangan uchun oxirgi tenglamaning o’ng tomonidagi integrallardan biri ikkinchisidan oshmaydi. Masalan

bo’lsin. U holda
, (8)
ekanini ko’rish mumkin. ni o’z ichida saqlovchi parale-lopiped bo’lsin, u holda to’plamda integrallanuvchi o’lchovli funksiyani ta’rifiga ko’ra . Bu yerda

Darbu kriterisiga ko’ra

bo’ladi, bu yerda funksiya uchun bo’linish bo’yicha Darbuning quyi yig’indisi - bo’linishning diametri. Bundan funksiyaning manfiy emasligini e’tiborga olsak bo’linish mavjud ekanligi kelib chiqadiki bu uchun
(9)
tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu yerda .
bilan bo’linishning bo’ladigan yacheykalarning birlashmasini belgilaylik. Darbuning quyi yig’indisida nolga teng qo’shiluvchilarni tashlab yuboramiz. (Unda ni tashkil etuvchi yacheykalarga mos qo’shiluvchilar qoladi.) (8), (9) tengsizliklar va karrali integralning xossalariga ko’ra
.
Hosil bo’lgan tengsizlikni quyidagi tengsizlik

bilan qo’shib

tengsizlikka ega bo’lamiz. deb qaraylik. U holda oxirgi tengsizlik
(10)
ko’rinishni oladi.
ekanligidan - to’plamning ochiq Jordan to’plamlari bilan qoplovchisi bo’ladi. Bu uchun (10) tengsizlik o’rinli, shuning uchun mos (1) limit cheksiz bo’ladi. Bu esa , ketma-ketlikni va demak ni uzoqlashuvchi ekanligini bildiradi. Lekin shartga ko’ra integral yaqinlashuvchi biz qarama-qarshilikka keldik. Bu qarama-qarshilik teoremani isbotlaydi.