Karrali xosmas integralning ta’rifi

Isbot(zarurligi). karrali xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lsin u holda 1.3 ta’rifga ko’ra D to’plamning qoplovchi ochiq Jordan to’plamlari uchun sonni ketma – ketliklar yaqinlashuvchi, shuning uchun chegaralangan.
Yetarliligi. ketma – ketliklar chegaralangan bo’ladigan, to’plamning mos qoplovchi ochiq o’lchovli to’plamlar mavjud bo’lsin. uchun bo’lgani uchun karrali integral xossasiga ko’ra

oxirgi tenglik kamaymasligini bildirdi, shuning uchun u yaqinlashuvchi, 2.1 teoremaga ko’ra bir integral yaqinlashuvchi.
Misol. Karrali xosmas integralni yaqinlashishga tekshiring va yaqin-lashuvchi bo’lsa uni hisoblang.
,
Yechish: funksiya da uzluksiz shuning uchun . da

to’plam ochiq Jordan to’plami va ni monoton qoplaydi.
Bundan tashqari to’plam da to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik va integral ostidagi funksiya quyidagi xossaga ega
.
Shuning uchun . Demak, agar yaqinlashuvchi bo’lsa u holda u no’lga teng bo’ladi. Simmetriklikka asosan,
,
integralni yaqinlashishga tekshirish yetarli.
da ekanligini ko’rish mumkin.
Quyidagi to’plamlarni kiritamiz


to’plam Jordan ma’nosida o’lchovli. funksiya da uzluksiz. Shuning uchun karrali integral integral bilan bir vaqtda yaqinlashadi yoki uzoqlashadi.
,
to’plamlar da to’plamlari bo’lib, monoton ravishda to’plamni qoplaydi. da integralni qutb koordinatalariga o’tib hisoblaymiz.

bu yerda ga ega bo’lamiz. Bundan ketma-ketlik yaqinlashuvchi 2.1 teoremaga ko’ra karrali xosmas integral va demak berilgan xosmas integral ham yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
2.2.3-teorema. funksiyalar D sohada lokal integrallanuvchi va da bo’lsin. Agar karrali xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lsa u holda integral yaqinlashuvchi. Agar karrali xosmas integral uzoqlashuvchi bo’lsa u holda integral ham uzoqlashuvchi bo’ladi.
Isbot. 1) karrali xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lsin. 2.2 teoremaga ko’ra to’plamni monoton qoplovchi o’lchovi ochiq to’plamlar ketma-ketligi mavjudki bular uchun ketma-ketlik chegaralangan ya’ni topiladiki da bo’ladi. Karrali xosmas integral xossasiga ko’ra
, .
Shuning uchun 2.2 teoremaga ko’ra funksiyaning karrali xosmas integrali yaqinlashuvchi bo’ladi.
2) Endi karrali xosmas integral uzoqlashuvchi bo’lsin. Faraz qilaylik integral yaqinlashuvchi bo’lsin. U holda isbot qilingan 1) ga ko’ra karrali xosmas integral yaqinlashuvchi bo’ladi bu esa teorema shartiga zid. Teorema isbotlandi.