Karrali xosmas integralning ta’rifi

Misol. , va uchun bo’lsin.

integral yaqinlashuvchi bo’ladigan ning qiymatlarini toping.
Yechish. funksiya sohada uzluksizligidan uni sohada chegaralangan ekanligi kelib chiqadi, ya’ni mavjudki uchun

bo’ladi. Shuning uchun D sohadan olingan har bir uchun
(5)
tengsizlik o’rinli bo’ladi. 2.3 teoremaga ko’ra (5) dan va integrallar bir vaqtda yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’ladi.
, ochiq Jordan to’plamlari bo’lib, monoton ravishda to’plamni qoplaydi. Sferik koordinatalarga o’tib quyidagiga ega bo’lamiz.


Shunday qilib
Natijada qaralayotgan integral da yaqinlashuvchi, da uzoqlashuvchi bo’ladi. Berilgan integral ham 2.3 teoremaga ko’ra ning shu qiymatlarda mos ravishda yaqinlashadi va uzoqlashadi.


2.3 § Ishorasi almashinuvchi funksiyaning karrali xosmas integrali.


da ochiq to’plam deb qaraymiz.
2.3.1-teorema. Agar karrali xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda karrali xosmas integral ham yaqinlashuvchi bo’ladi.
Isbot.
, (6)
bo’lsin. U holda uchun va bo’ladi. Bundan va karrali xosmas integrallar 2.3 teoremaga ko’ra yaqinlashuvchi. bo’lgani uchun karrali xosmas integral yaqinlashuvchi bo’ladi. Teorema isbotlandi.
2.3.1 -ta’rif. Agar karrali xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lsa karrali xosmas integral absolyut yaqinlashuvchi deyildi.
3.1 Teoremadan karrali xosmas integralning absolyut yaqinlashuvchi ekanligidan uning yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. Karrali xosmas integralning quyidagi xossasi qiziq va u 1-o’lchovli xosmas integralda o’xshashi yo’q.