Kamida va eng yuqori qiymatlar

Misol 6. Funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini toping segmentida .
Qaror. Bu funksiyaning hosilasini quyidagicha topamiz mahsulotning hosilasi :

Biz lotinni nolga tenglashtiramiz, bu bitta kritik nuqtani beradi: . Bu segmentga tegishli. Berilgan segmentdagi funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini topish uchun biz uning qiymatlarini segmentning oxirida va topilgan kritik nuqtada topamiz:

Barcha harakatlar natijasi: funksiyaga etadi eng kichik qiymat , 0 ga teng, nuqtada va nuqtada va eng katta qiymat ga teng e², nuqtada.

Misol 7. Funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini toping segmentida .
Qaror. Ushbu funktsiyaning hosilasini topamiz:
Hosilni nolga tenglashtiring:

Faqatgina muhim nuqta segmentga tegishli. Berilgan segmentdagi funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini topish uchun biz uning qiymatlarini segmentning oxirida va topilgan kritik nuqtada topamiz:

Xulosa: funktsiya minimal qiymatiga etadi, ga teng, nuqtada va eng katta qiymat, ga teng, nuqtada.
Amaliy ekstremal masalalarda funktsiyaning eng kichik (eng katta) qiymatlarini topish, qoida tariqasida, minimal (maksimal) ni topishga to'g'ri keladi. Ammo minimal yoki maksimallarning o'zlari emas, balki ularga erishiladigan dalillarning qadriyatlari ko'proq amaliy qiziqish uyg'otadi. Amaliy muammolarni hal qilishda qo'shimcha qiyinchilik paydo bo'ladi - ko'rib chiqilayotgan hodisa yoki jarayonni tavsiflovchi funktsiyalarni kompilyatsiya qilish.
8-misol To'rtburchak asosli parallelepiped shakliga ega va tepasi ochiq bo'lgan sig'imi 4 bo'lgan tank konservalangan bo'lishi kerak. Eng kam miqdordagi material bilan qoplash uchun tankning o'lchamlari qanday bo'lishi kerak?
Qaror. Bo'lsin x- tayanch tomoni h- tank balandligi, S- qoplamasiz sirt maydoni; V- uning hajmi. Tankning sirt maydoni formula bilan ifodalanadi, ya'ni. ikki o‘zgaruvchining funksiyasi. ifodalash uchun S bitta o'zgaruvchining funksiyasi sifatida biz , qaerdan ekanligini ishlatamiz. Topilgan ifodani almashtirish h uchun formulaga kiradi S:
Keling, bu funktsiyani ekstremum uchun ko'rib chiqaylik. U hamma joyda ]0, +∞[ va da aniqlangan va farqlanadi
.
Biz hosilani nolga () tenglashtiramiz va kritik nuqtani topamiz. Bundan tashqari, lotin mavjud bo'lmaganda, lekin bu qiymat ta'rif sohasiga kiritilmagan va shuning uchun ekstremum nuqta bo'la olmaydi. Shunday qilib, - yagona tanqidiy nuqta. Keling, ikkinchisi yordamida ekstremum mavjudligini tekshirib ko'raylik etarli belgi. Ikkinchi hosilani topamiz. Ikkinchi hosila noldan katta bo'lganda (). Bu funktsiya minimal darajaga yetganda, degan ma'noni anglatadi .
Chunki bu minimal - bu funktsiyaning yagona ekstremumi, bu uning eng kichik qiymati. Shunday qilib, tankning poydevorining yon tomoni 2 m ga teng bo'lishi kerak va uning balandligi.
9-misol Paragrafdan A, temir yo'l liniyasida joylashgan, nuqtaga Bilan, undan uzoqda l, tovarlarni tashish kerak. Og'irlik birligini temir yo'l transportida masofa birligida tashish narxi teng, avtomobil yo'lida esa teng. Qaysi nuqtaga M chiziqlar temir yo'l dan yuk tashish uchun avtomobil yo'li qurilishi kerak LEKIN ichida Bilan eng tejamkor edi AB temir yo'l to'g'ri deb taxmin qilinadi)?
Keling, grafik yordamida funktsiyani qanday o'rganishni ko'rib chiqaylik. Ma'lum bo'lishicha, grafikaga qarab, bizni qiziqtirgan hamma narsani bilib olishingiz mumkin, xususan:

• 
  funksiya doirasi
  
• 
  funktsiya diapazoni
  
• 
  funktsiya nollari
  
• 
  ortish va pasayish davrlari
  
• 
  yuqori va past nuqtalar
  
• 
  intervaldagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati.
  

Keling, terminologiyaga aniqlik kiritaylik:

Absissa nuqtaning gorizontal koordinatasi hisoblanadi.
Ordinatsiya qilish- vertikal koordinata.
abscissa- ko'pincha eksa deb ataladigan gorizontal o'q.
Y o'qi - vertikal o'q, yoki eksa.
Dalil funktsiya qiymatlari bog'liq bo'lgan mustaqil o'zgaruvchidir. Ko'pincha ko'rsatilgan.
Boshqacha qilib aytganda, biz o'zimiz tanlaymiz, funktsiya formulasida o'rniga qo'yamiz va ni olamiz.
Domen funktsiyalar - bu funktsiya mavjud bo'lgan argumentning o'sha (va faqat o'sha) qiymatlari to'plami.
Belgilangan: yoki .
Bizning rasmimizda funksiya sohasi segmentdir. Aynan shu segmentda funksiya grafigi chiziladi. Faqat shu yerda berilgan funksiya mavjud.
Funktsiya diapazoni o'zgaruvchi qabul qiladigan qiymatlar to'plamidir. Bizning rasmimizda bu segment - eng pastdan eng yuqori qiymatgacha.
Funktsiya nollari- funksiyaning qiymati nolga teng bo'lgan nuqtalar, ya'ni. Bizning rasmimizda bu nuqtalar va .
Funktsiya qiymatlari ijobiy qayerda. Bizning rasmimizda bu intervallar va .
Funktsiya qiymatlari salbiy qayerda. Bizda bu interval (yoki interval) dan to.
Eng muhim tushunchalar - oshirish va kamaytirish funktsiyasi ba'zi to'plamda. To'plam sifatida siz segment, interval, intervallar birlashmasi yoki butun son chizig'ini olishingiz mumkin.
Funktsiya ortadi
Boshqacha qilib aytganda, qancha ko'p , shuncha ko'p , ya'ni grafik o'ngga va yuqoriga boradi.
Funktsiya kamayadi to'plamda agar mavjud bo'lsa va to'plamga tegishli bo'lgan tengsizlik tengsizlikni bildiradi.
Kamaytiruvchi funktsiya uchun kattaroq qiymat pastki qiymatga mos keladi. Grafik o'ngga va pastga tushadi.
Bizning rasmimizda funktsiya oraliqda ortib boradi va intervallarda kamayadi.
Keling, nima ekanligini aniqlaylik funktsiyaning maksimal va minimal nuqtalari.
Maksimal nuqta- bu ta'rif sohasining ichki nuqtasi bo'lib, undagi funktsiyaning qiymati unga etarlicha yaqin bo'lgan barcha nuqtalardan kattaroqdir.
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, maksimal nuqta - bunday nuqta, funksiyaning qiymati Ko'proq qo'shnilarga qaraganda. Bu grafikdagi mahalliy "tepalik".
Bizning rasmimizda - maksimal nuqta.
Past nuqta- ta'rif sohasining ichki nuqtasi, undagi funksiya qiymati unga etarlicha yaqin bo'lgan barcha nuqtalardan kichik bo'ladi.
Ya'ni, minimal nuqta shundayki, undagi funktsiyaning qiymati qo'shnilariga qaraganda kamroq. Grafikda bu mahalliy "teshik".
Bizning rasmimizda - minimal nuqta.
Nuqta - bu chegara. Bu ta'rif sohasining ichki nuqtasi emas va shuning uchun maksimal nuqta ta'rifiga mos kelmaydi. Axir, uning chap tomonida qo'shnilari yo'q. Xuddi shu tarzda, bizning jadvalimizda minimal nuqta bo'lishi mumkin emas.
Maksimal va minimal ballar birgalikda chaqiriladi funktsiyaning ekstremal nuqtalari. Bizning holatlarimizda bu va .
Ammo, masalan, topish kerak bo'lsa-chi funktsiya minimal kesmada? DA bu holat javob: . chunki funktsiya minimal uning minimal nuqtadagi qiymati.
Xuddi shunday, bizning funktsiyamizning maksimal qiymati . Bu nuqtada erishiladi.
Funksiyaning ekstremallari va ga teng, deyishimiz mumkin.
Ba'zan vazifalarda siz topishingiz kerak funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari ma'lum bir segmentda. Ular ekstremal holatlarga to'g'ri kelishi shart emas.
Bizning holatda eng kichik funktsiya qiymati oraliqda funktsiyaning minimaliga teng va mos keladi. Lekin uning ushbu segmentdagi eng katta qiymati ga teng. U segmentning chap uchida joylashgan.
Har qanday holatda, segmentdagi uzluksiz funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari ekstremal nuqtalarda yoki segmentning oxirida erishiladi.
Ko'pincha fizika va matematikada funktsiyaning eng kichik qiymatini topish talab qilinadi. Buni qanday qilish kerak, biz hozir aytamiz.