Kafedrasi o’qituvchisi bohonov Zafarning

^{O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI}
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLUIGI
NAMANGAN DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA — MATEMATIKA FAKUL’TETI MATEMATIKA KAFEDRASI O’QITUVCHISI
Bohonov Zafarning
“ Sirtning birinchi kvadratik formasi” MAVZUSIDAGI

Namangan 2013

Mavzu: Sirtning birinchi kvadratik formasi

Reja.

1. 
   Sirtning birinchi kvadratik formasi
   
2. 
   Birinchi kvadratik formasining ishorasi
   
3. 
   Sirtda yotuvchi chiziqlar orasidagi burchak
   
4. 
   Sirt ustidagi sohaning yuzini aniqlash
   
5. 
   Sirt koordinat chiziqlari tashkil etgan burchak
   
6. 
   Ortogonal traektoriyalar
   

D regulyar sirt r —— r(u,v) vektor tenglamasi orqali berilgan bo’1sin. P(u,v) nuqtada
^{r', r,' 0,} ‹p_a ^{= r 2 (1)}
ifodaga sirtning birinchi kvadratik formasi deyiladi. Ko’ramizki, sirtning birinchi kvadratik formasi r - to’la differentsialiningkvadratiga teng. ‹ir —— r'du + r,’dv bundan
_r ² = _r„’² du ² + 2(r ’r,’)dudv + _r,’² _dv ²
‹p, = _{r,'du 2} + 2(r', r,')dudv + _r,'² _dv² (2)

2. 
   ^{sirtning har bir nuqtasida du Ba dv larga nisbatan kvadratik formani ifodalaydi.} ‹Fr'^{2 = ds’ ,}
   

ds —— ‹Fr ² ni e'tiborga olsak,
^{ds’ —— r’2 + 2(r', r,')duW +} r," dv^{2 (3)}

2. 
   ni sirtning chiziqli elementi deyiladi va uni birinchi kvadratik forma desa bo’1adi. quyidagi belgilashlarni kiritaylik.
   

E —— r„” , F —— (r’,r’) , G —— r,'² (4)

² 2
(g, = r' ² , ^g, (r',r,'), g r,” ) belgilash ham mumkin. ‹p = _Edu ² + 2Fdudv + GB'
Bundan

haqiqatan ham,

^{EG —} F ^{2 > 0 (6)
-- 2-- 2} — (r _r,) ² = r r, ² > 0. Ko’ramizki ‹p, musbat ishorali va r' ² > 0 . O -

sirtga qarashli y chiziq u = u(f) , v = v(/) parametrik tenglama orqali berilgan bo’lib, ^f _{t ' * -'} y chiziqning vektor tenglamasi
r —— r(u(t),v t)) (7)
ko’rinishga ega. y chiziqning ^M (f _t ) va N(t,) nuqtalari orasidagi yoy uzunligini xisoblaylik.

Bundan
2
ds —— ‹Fr —— r'(u(t),v(t)) dt —— rf — ftp, —— E ^du
dt


N(t )
s(t) —— dt ——
du dv dv ²
* — + G — dt dt dt dt
(8)

(8) 2 sirtga qarashli y silliq chiziqning M(' ) Bd N(t,) nuqtalari orasidagi yoy uzunligining hisoblash formulasidir.

D regulyar sirtda silliq chiziqdan tashqari ushbu chiziq bilan kesishuvchi L silliq
chiziq u u(r) , v = v(r) tenglama orqali aniqlangan bo’lsin. y va L chiziqlarP(u, v) o D nuqtada kesishsin.
Ta'rif: D regulyar sirtga qarashli y vaL silliq chiziqlar tashkil etgan burchak deb,
ularning kesishish P nuqtasida y va L chiziqlarga o’tkazilgan urinmalar tashkil etgan eng kichik burchakka aytiladi. y chiziqqa o’tkazilgan urinma vektor

dt dt dt L chiziqqa P nuqtada o’tkazilgan urinma vektor
= r + r,' (10)
‹ir —— r'du + r,’dv , Mr’ —— r’6íi + r’6v
vektorlarni skalyar ko’paytmasidan
(9)

GOSH:=
—2
(11)
2

kelib chiqadi.
‹ir°’ —— Edu ² + 2Fdudv + Gdv’ (a)
² = Edu ² + 2Fáu Œ + CA Q)
(‹Fri) —— r’ ² duáu + (r„'r,')(duŒ + dv6u) + r," dv6v ——
—— Edu6u + F(du6v + dvâu) + GdvŒ( )
formuladan foydalansak,

27-chizma

cOS ‹p =

Edu6u + F(du6v + dv6u)+ Ddv6v
(12)

2dE^{2 +} udv + Gdv ^{E 2 + 2} + G ²
formulaga ega bo’lamiz. D sirtga qarashli koordinat chiziqlar kesishib tashkil etgan burchak formulasini yozaylik.

u = t
y :
u —— const
L :
(13)

v = const v —— t
y uchun dv —— 0, L uchun Œ = 0 bo’lgani uchun (12) dan
_{cos ‹p =} Fdu6v F

(14)

End G6v— ^:•E
(14) dan quyidagi teorema kelib chi?adi.
Teorema: f2 sirt koordinat chiziqlari ortogonal bo’lishi uchun = 0 shartning bajarilishi zarur va etarlidir.
Endi r —— r(u,v) vektor ko’rinishda berilgan D silliq sirt sohasining yuzini hisoblash formulasini yozaylik.
Sirtning silliq chiziqlar qism yoylari bilan chegaralangan G sohasini ajrataylik. G sohani u , v
parametrlarining o’zgarish sohasi deb qarash mumkin. G sohaning har bir nuqtasiga u , v parametrning fiksirlagan qiymatlari mos keladi va aksincha. G soxani"u” va ”v" koordinat chiziqlar oilasi orqali egri chiziqli parallelogrammlarga ajratamiz. qarama-qarshi tomonlar juftlaridan biri "u" chiziqlar bilan, ikkinchisi"v" chiziqlar bilan chegaralanadi.

2-chizma
Chizmada PP _{2 3} egri chiziqli parallelogramm tasvirlangan bo’lib, uchlari P(u,v) , P,(u + As, v) , P₂ (u, v + Av) , Ph (u + As, v + Av) koordinatalarga ega. N -sirtning P nuqtadagi normal vektori bo’lsin. "u" va"v" chiziqlarga P nuqtada urinmalar o’tkazamiz. PP, ^P_z Ph egri

chiziqli parallelogrammni N ga parallel ravishda urinma tekislikka proektsiyalaymiz. Urinma tekislikda PQSR to’?ri parallelogramm hosil bo’ladi. Uni r àu vu r Av vektorlar bo’yicha

ko’rilgan urinma tekislikka tegishli parallelogramm bo’1ishidan PP _{2 3} parallelogramm o’rniga olish mumkinligi kelib chiqadi.
PQSR parallelogramm yuzini G(g) orqali belgilaylik. G sohadagi egri chiziqli
parallelogrammlarning yig’indisi G —— _I G(g) bo’1sin.
Ta'rif: Sirt sohasi G ning yuzi deb, g soha o’1chov bo’yicha cheksiz
kichrayganda


(15)

songa aytiladi.

G(g) —— r’ku r,’kv —— fr r,’ kukv (16)

bo’yicha
r'r,' hosilalarning uzluksizligidan (15) limit mavjud bo’1ib, ikki karrali integral ta'rifi

(17)
ga tengdir.
Shunday qilib,

(4) dan foydalanib, (18) dan tenglikni keltirib chiqarish mumkin.
(18)

(19)

S = EQ— dudv (20)

20. 
    D sirt G sohasi yuzini hisoblash formulasi bo’1ib, ‹p forma koeffitsientlari orqali ifodalanadi.
    

Misol:
fi radiusli sfera yuzi hisoblansin. Sferaning parametrik tenglamasi x = fi cos u cos v, y —— fi sin u cos v, r —— fisin v
G = (u, v 0 fi u 2c,——‘
2 2


n,' —— —fi sin u cos v i + fi cos u cos v j , r,’ —— —R eos u sin v i — fisin u sin -v ,
E —— r" (u) = fi' cos' v , G —— r' ² (v) = R’ , F —— (r'r,’) —— 0,
EL— ^{2 2} cos v ,


0

Agar sirt z g(x, y) tenglamasi orqali berilgan bo’1sa, uning yuzini hisoblash formulasi

(21)
ko’rinishda yoziladi. Isbotlashni o’quvchiga tavsiya etamiz.

Sirtda yotuvchi chiziqlar orasidagi burchak

Agar sirtning birinchi kvadratik formasi va sirt ustida bir-biri bilan kesishgan chiziqlarningtenglamalari berilgan bo’lsa, bu chiziqlar orasidagi burchakni aniqlash mumkin.

Sirt ustidagi chiziqlarning kesishgan nuqtasini M bilan belgilaylik. Chiziqlarning bu umumiy nuqtadagi urinma vektorlarn dr —— r du + r,dv va dr = r #u + r,#v bo’lsin. r„ va r, qiymatlar sirtning tenglamasilan topiladi. Shu sababli, ikkala dr va 6r vektor uchun ham, r' va
r' qiymatlar bir xildir. dr va br vektorlar orasidagi burchakni chiziqlar orasidagi burchak deb
qabul qilamiz. Vektorlar orasidagi ‹p burchakni aniqlash uchun bu vektorlarni o zaro skalyar

ko’paytiramiz: (d-r

6r) —— dr - 6r - cos ‹p . Bundan: cos ‹p = ^{(dr - 6r)}

dre —— ds ——
6r —— ds
Chiziqlar orasidagi burchak uchun
2dE
+du + G dv ,‘

E du 6s + F(du 6u+ dv 6v) + G dv 6v
E d + 2 d d + G d E + 2 + G v
formula hosil bo“ladi. Bundan du : dv va yo’nalishdagi chiziqlarning ortogonalligi quyidagini beradi:
E du 6u+ F(du 6v+ dv 6u) + G dv 6v —— 0
Demak, sirtning M nuqtasidagi ye, F, G koeffitsientlar topilsa va chiziqlar urinmalarining
yo’nalish1ari ( du : dv va 6s:6v yoki ^{du dv 6 u} — ) aniqlansa, chiziqlar orasidagi
dt dt’ dl
burchakni topish mumkin. Xususiy holda, egri chiziqli (u va v) koordinata chiziqlari orasidagi burchakni topaylik. Buning uchun u bo’yicha olingan differentsiallarni du, dv bilan, v bo’yicha olingan differentsiallarni dv, 6v bilan belgilaymiz. u chiziq bo’yicha du 0, H = 0 va v chiziq bo’yicha 6i 0, db 0. Shu sababli, (1) formulaning ko’rinishi quyidagicha bo’1adi:
cos‹p= —
.z G
Koordinata chiziqlarnning ortogonallik sharti N=0 dir; demak, differentsiallar ko’paytmasining nolga tengligi koordinata chiziqlarining ortogonalligini bildiradi va aksincha.

Misol. x = i + v,‘ u = u — v , z=uv sirt ustida u=f, v = —
2
berilgan. Bu chiziqlar orasidagi burchak topilsin.

va u = f, v = ı —1 chiziqlar 2

Berilgan chiziqlaming kesishgan nuqtasini aniqlaymiz. Chiziqlarning berilgan tenglamalaridan f parametrni yo’qotish bilan hosil qilingan u + 2v= 0, u — 2v — 2= 0
1

sistemani yechib, Mo
bo“1adi.
1, ——
2
kesishish nuqtasinn topamiz. Bu yerda ıo ning qiymati 1 ga teng

E, F, G koeffitsientlarni chiziqlarning kesishgan Mo hisoblaymiz:
1
1, ——
2
nuqtasi uchun

i —1, by—1, E — 2 + v’, E —— ⁹
4
yi — 1, y — —1, F=1-1+ uv, F —— ¹
2

z — u, z — v, G — 2 + u², G — 3.

Birinchi chiziqning tenglamasidan
du _{= 1,} dv 1

dt dt 2

Ikkinchi chiziqning tenglamasidan
3
= 1,
dt


dt 2
Topilgan qiymatlarni (1)

formulaga qo“yamiz: cos p = ^{2 3}
14 10 3
4 4

Ortogonal traektoriyalar

Sirt ustidagn lo (uo, vo) nuqtaning atrofida bir parametrli q(u,v)+e-0 chiziqlar oilasi berilgan va ^Mo(uo ,vo) nuqtada ‹p'' + ‹p'² 0 bo lsin. Bu oilaga ortogonal bo’1gan ikkinchi oilani topamiz. Birinchi oilaning yunalishini ‹p, : ç bilan va ikkinchi oilaning yo“nalnshini

dv : du bilan belgilab, ortogonallik shartini yozamiz:
E ‹p, du+ F(‹p, dv — ip, du) — G ‹p dv —— 0

yoki


(E ‹p, — F‹p ) du+(F ‹p, — G ‹p ) dv = 0 . (1)
Ana shu tenglik ikkinchi oilaning differentsial tenglamasidir. Differentsial tenglamalar

nazariyasidan ma“lumki, (1) ni ¡i (u, v) i n t e g r a 1 k u p a yt u v c h i ga ko“pantirganda, uning chap tomoni qandaydir ç (u, v) funktsiining to’1iq differensialiga aylanadi:
Berilgan oilaga ortogonal oilaning tenglamasi
g(«,v)+r=0 shaklda bo’ladi. Haqiqatan, topilgan oila chizigining yunalishi çr, : çr dir.
yo’nalish1arning ortogonallik shartidir. Endi Mo (no, vo) nuqta atrofida eski u va v koordinat chiziqlarini ip(u, v) + c = 0, (u, v) + c = 0 dan iborat chiziqlarga almashtiramiz. Matematik analiz kursidan ma’lumki,

shartida, bu almashtirishni bajara olamiz. Bizning misolimizda

‹p,y, + ‹p,çr = E ‹p” —2F‹p ‹p, + G ‹p 0. Shunday qilib, sirtning har bir nuqtasi atrofıda
ortogonal koordinata chiziqlari doimo mavjud bo’1ib, birinchi oiladagi chiziqlarni ixtiyoriy ravishda tanlashi-miz mumkin.

Sirt ustidagi sohaning yuzini aniqlash

Sirt ustida sodda yopiq chiziq bilan chegaralangan W soha berilgan bo’lsin. Y sohadagi nuqtalardan soni chekli koordinata chiziqlarini o’tkazamiz. Bu soha egri chiziqli ikki xil to’rtburchak- ka ajraladi. 1) T o 1i q to rtb urc h aklar (bunday to“rtburchaklar-ning ikki tomoni u chiziqlar bilan va qolgan ikki tomoni v chiziqlar bilan chegaralangan). 182-chizmada

bunday to“rtburchaklardan biri (O MNPQ) katta qilib ko“rsatilgan.

2) T o“ 1 i q s i z t o“ r t b u r ch a k 1 a r. Bu ko’rinishdagi to’rtburchaklar-ning har biri sirt ustidagi sohani chegaralaydigan chiziqni ham qisman qoplaydi. To“rtburchaklarning har biri kichrayib borganda, to’1iqsiz to’rt - burchaklar sohani chegaralaydigan chiziqqa yaqinlashadi va bu to“rtburchaklar-ning hammasini eni nolga intiladigan yopiq tasma ichiga joylashtirish mumkin bo“1adi. Shu sababli ikkinchi ko’rinishdagi to’rtburchak1arni e’tibor - siz qoldiramiz.


ISE—ch:zına
16L*—ch:zına.


chizmadagi egri chiziqli to’rtburchakni tekshiraylik. Bunda va PQ tomonlar u chiziqlarga qarashli. NP va MQ tomonlar esa v chiziqlarga qarashlidir. To“rtburchak uchlarining koordinatalari: M(u,v), N(u -D u, v), Q(u, v -D v), P(u -D u, v -D v ) . Shuning uchun
OM —— r(u,v), ON —— r(u -ou, v),
OP —— r(u —D u, v +D v), OQ —— r(u, v +Dv) bo’lib,
MN —— r(u -D u, v) — r(u,v).

Chekli orttirmalar teoremasiga asosan, du- r $u + 6Du, v] .
Agar birinchi tartiblidan yuqori cheksiz kichiklarni e“tiborga olmasak. MV tt r ou

bo’ladi. Xuddi shunga o’xshash MQ — r Ov, MN — MN — fr, jon

va MQ —= MQ — r, ov bo’1gani uchun, egri chiziqli to’rtburchakning yuzi o’miga tomonlari

non va nov vektorlardan iborat to’g’ri chiziqli parallelogramm - ning yuzini olamiz, ya’ni egri
chiziqli MNPQ to’rtburchakning yuzi deb non va r, ov vektorlardan yasalgan
parallelogrammnpng yuzini qabul qilamiz. Bu parallelogramm sirtning M nuqtasidagi urinma tekislikda bo“lib, uning yuzi ushbuga teng:

yoki
Demak, yuzning O er ifodasi sirtning birinchi kvadratik formasidagi E, G, F koeffitsientlar orqali ifodalanadi.

EŞ— ² qiymat (r r ) ga teng bo“lgani uchun, u hamma vaqt noldan kattadir (oddiy nuqtada u noldan farqli).
Shunday qilib, har bir egri chiziqli to’rtburchakning yuzi o’miga to’g’ri chiziqli
parallelogrammning yuzini olamiz. Sohaga tegishli bo’1gan hamma parallelogrammlar yuzlarining yig’indisini tuzaylik:
(1)
Har bir on va Ov qiymatlarni nolga intiltiramiz. Bu holda egri chiziqli to“rtburchaklarning soni cheksizlikka intilib, har birining yuzi nolga intiladi. (1) dan limit olamiz. Sirt ustidagi V sohaning yuzi deb (1) yig’indining limitiga aytamiz:
S —— lim _Z^{O cr} = ^lim _Z — N² OuOv.
Karrali integrallar nazariyasiga asosan, lim _Z O ro v ning qiymati sirtdagi egri chiziqli koordinat sistemasiga bog“liq bo lmasdan, faqat sohaning shakliga bog’1iq bo’1ib,
dan olingan ikki o lchovli integralga teng;
G — du dv (2)

Natija. Sirt ustidagi egri chiziq oyining uzunligini, sirt ustidagi chiziqlar orasidagi burchakni va sohaning yuzini aniqlash uchun sirt ustidagi egri chiziqli koordinat sistemasiga nisbatan E, F va G qiymatlarni u, v orqali aniqlash kifoyadir. E, va G larni aniqlash uchun, sirtning shaklini va tenglamasini bilish shart emas.

Sirt oshkor z—f(x, u) oshkor tenglama bilan berilgan holda tegishli V sohaning yuzi uchun ushbu formula hosil qilinadi:


Misollar. x=fi cosu cosv, u=ficosu sinv, z=fisinu sfera va uning ekvatori bilan chegaralapgan sohaning yuzi aniqlansin.
Ye ch i sh. Sirtning tenglamasidan sohaning M nuqtasi uchun E, va G qiymatlarni ^{aniqlaymiz: E=R', N=0,} G=fi’cos²u. ^{Bularni (2) formulaga qo’yib, ikki o’1chov1i integralni} hisoblaymiz. Birinchi integralning chegaralari 0 dan 2s gacha va ikkinchi iitegralning
chegaralari ₀ dan _{2 gacha} bo’1gani uchun:

S = $$ EG — du dv —— dv2
îf 0 b
ros ² c
^s 0² de dv ^—— 2cfi ²

Buning to’g’ri1igi elementar geometriya kursidan ma’1um.
Sirt ustidagi yoy, uning uzunligi (birinchi kvadratik forma), sohaning yuzi tushunchalari sof geometrik xarakterga ega bo’lgani uchun, ular sirt ustida egri chiziqli koordinatalarni tanlashga, chiziqqa qanday ichki siniq chiziq chizilishiga yoki sohani parallelogrammlarga bo’1ish usuliga bog’1iq emas. Bu tasdiqlarning isbotiga biz to’xtamaymiz. N normal-vektor ham invariant xarakterga egadir.
Endi 74-paragrafda qaralgan sirtlarga qaytamiz:
Tekislik. r — xi +yj, dr— dxi + duj
Ö, = ds’ = dx’ + 2 cos mdr dj + dj',
€ —— 1, —— cos m, G —— 1,


da F —— 0, ds² = dx’ + @'.

Qutb koordinatalarida:

bundan
2


r —— p e(‹p), dr —— d p e(‹y)+ pe ‹p + —
2
d‹p

ds’ —— d ^{p2+ p2}d ‹p' .

Sfera.‘ r —— a poos 8 e(‹p) + sin 8 k .


dr —— a —sin 8 e(‹p) d8 + cos 8 e ‹y + — d‹p + cos 6 d6 k ,
2
Ô, = ds² a’ cos 8 d‹p’ + d8’ .
Demak,
^{ü ——} n^{2 cos' 8, —— 0, G ——}

bunda F=0, ya ni meridianlar va parallellar tikdir.
Aylanma sirt.’ r —— ‹y(u) e(v)+ y(u) k .
dr —— $‹p'(u) e(u) + y’(u) k du+ ‹p(u) e v+ —
2
r„ —— ‹p’(u) e( )+ u) k, r, —— ‹p(u) e v + —
2


dv,


dv

z — (u) = u, x — ‹p(z) bo’1gan xususiy holda, ya’ni profil chiziq x—Q(z) shakldagi tenglama bilan berilganda:
r —— ‹p(u) e(v)+ uk,

bo“lib, bulardan:
r ip'(u) e(v)+ k, r —— ‹p(u) e
v+ —
2

Masalan, p(= x) = a chp’———
qilingan
E —— \ +_‹p’² (u), F —— 0, G —— p ² (u) .
— zanjir chiziqni z(— i) o’qi atrofida aylantirishdan hosil

katenoid uchun birinchi kvadratik forma
r —— -a
ch’———p e(‹p)+ uk

Ó, = ds’ = ch’ ^— _{du 2} ⁺ _a ²_ch ^{2 ’—} dp ².
a a
Aylanma sirt z=fi p) tenglama bilan berilsa, x=u —p faraz qilamiz, u vaqtda:
r —— pe(v)+ f(p) k,
(3)

r„ —— e(v)+ f’(p), r, —— pe v + —
2
€ = 1s /" (p), —— 0, G —— p’,
^{Ó, ——} ds^{2 $1+} f ' ^{2 (p) d p 2+ p2 dv’.}
Ikkala holda ham F=0, ya’ni koordinat chiziqlari (parallellar va meridianlar) ortogonaldir.
Oxirgi tenglikka diqqat qilaylik. Agar
^{$1 + f” (p) d p’} ——du ² .
deb faraz qilinsa, u holda di — profil chiziq, z=fi p) ning yoyi uzunligi differentsialini tasvirlaydi, bu yoy biror paralleldan boshlab hisoblanadi: p q sonst ga u=const mos kelib, u=cosnt ham parallellarni ifodalaydi. Demak,
ds’ —— du’^{+ p2}dv’,

ya’ni

Masalan,

E —— I, —— 0, G —— p ² .

a
p ——2
e° + e ° —— a^{- ch Z}

—
a

zanjir chiziqni o’z asosi atrofida aylantirishdan hosil qilingan katenoid uchun p’ a’ + u’ bo’1ib, uning birinchi kvadratik formasi quyidagi shaklni oladi:
_ds ² _{—— du} ² ₊ p2+ g2) _dv ²

demak,


Gelikoid.’ r — u e (v) + avk.

€= 1, F—0, G— a’ + u .

r —— e(v), r —— u e v + —
2
+ ak,

Mashqlar
A —— 1, —— 0, G —— a’ + u’,

_ds² —— _{d u} ² + $a' + _u2 ) _dv² _.

Quyidagi sirtlarning birinchi kvadratik formalari topilsin:

1. 
   Doiraviy silindr r —— ae(‹p) + vk .
   
2. 
   Doiraviy konus r —— $cos nc(‹p) + sin a k v .
   
3. 
   Uchi qutbdagi konus r —— v /(u) .
   
4. 
   Tor r —— (a + bnosu) e(v) + b sin u k.
   
5. 
   Psevdosfera r —— a sin u e(v)+ cos u + ln fg2 k
   
6. 
   To’g“ri chiziqli sirt r —— p(u) + vf(u) .
   

Jumladan, yuqoridagi mashqda qaralgan urinmalar, bosh normallar, binormal-
lar cirtlarn uchun: p(u) + c F(u), p(u) + vi (u), p(u) — v (u) , bunda u—tabiiy parametr.

7. 
   r —— sin ue(u)+ uk.
   

^{Javob. 1)} _ds^{2 ——} _a²_d ^{‹y’ +} _d’v2 ^{; 2)} ds^{2 —— (v cos} a) ^{2 d‹p' +} _{dv2 ,}
³⁾ _ds^{2 ——} b²du’ ^{+(a + b eos u)’} _dv2 ^{; 4)} _ds^{2 =} a² _{sin' u du 2} ⁺ sin ^{2 u} _dv2 ^{,
5) ds’ — p” + 2 p’e’v+ v’ 1’ )du2 + 2 e p’du dv+} l²dv’ ;
Uchta xususiy holda: _ds² l + _{k’ v}² ) _du² + 2du H + _H ² _;
^{ds’ —— $1+ v' k’ + m’ ) du’ + dv’,‘} ds ^{2 = $1+} v^{2 «' )} du^{2 + dv’.}
6) de' —— $1+ _cos² u) du² + _sin² u dv’ .

1. 
   Sirtning birinchi kvadratik formasi: ds² —— du² + _sû²_u dv' bo’1ib, shu sirt ustida u— v =0 chiziq berilgan. Bu chiziq yoyining uzunligi topilsin.
   

Javob. s — sh u — shuc.

2. 
   Katenoid ustida u + v = 0 chiziqlar berilgan. Ular orasidagi burchak topilsin. ^{K o“ r s a t m a . Katenoid uchun} ds ^{2 =} du ^{2 +} a^{2 + u' )} dv^{2 .}
   

Jcivob.
cos ‹@'
l — a’



1+ a^2’

3. 
   r —— u e(v)+ avk gelikoid ustida yotuvchi In u + ² + — v = const chiziqlarning ortogonalligi isbotlansin.
   
4. 
   r —— a + ² i+ au j+ av k sirt va uning ustida uqshv chiziq berilgan. Bu chiziqning tabiiy tenglamalari yozilsin.
   

5. 
   Chiziqlar oilasi
   

^dv — /(u, v) berilgan, bunda f (u, v) — uzluksiz funktsiya. Shu
du

oilaga “ortogonal” oila topilsin. E ch i sh. Ortogonallikning
E du 6u+ F(du 6v+ dv 6u) + G dv 6u —— 0
shartidan
yoki


6u fi (“’ "
Bu esa birinchi tartibli differentsial tenglamadir. Uni integrallab berilgan onlaning
ortogonal traektoriyalarini topamiz.

6. 
   Sirtdagi i chiziqlar (v=const ) va v chiziqlar (u = const) ning ortogonal traektoriyalari
   

topilsin.
Javob. E 6u+ F 6v —— 0, F6u + G dv —— 0.

7. 
   Gelikoid ustida yotuvchi ln u ^{2 2 ‘} — v = 4 chiziq koordinata chiziqlari orasidagi
   

burchakni har bir nuqtada teng ikkiga bo’ladi. Buni isbotlang.

8. 
   I z o t e r m i k k o o r d i n a t a 1 a r. Aylanma sirtning birinchi kvadratik formasi uchun yuqorida ushbu formulani bergan edik;
   

_ds 2 _$p (p) + r2^{( p} _{)$ du} 2+ 2( _{) dv’}
Bu formuladagi birinchi qo’shi1uvchi — meridian yoyi differentsialining kvadratini ifodalaydi, uni dl’ bilan belgilaymiz:

u holla:
^{p (u) +} ’^{2 (u))} _du^{2 ——} _dl ²

Agar
de' —— dl' + ‹p' (u) dr ² —— ‹p' (u)
dl’ _{) + dr 2}

deb faraz qilsak,

bo“1adi.

ds’ —— ‹p’ (() pd]’ + diy’

Sirtning bu ko’rinishdagi birinchi kvadratik formasi tekislikning to“g’ri burchakli Dekart sistemasidagi chiziqli elementdan ko“paytuvchi bilangina farqlanadi; J va p — sirtning izotermik parametrlari deyiladi. Masalan, katenoidning (3) kvadratik formasini izotermik shaklga keltirish oson:

bunda = —, p = ‹p.
ds^{2 —— a2ch’(} d( ^{2 + dıj’ )}

9. 
   To“g’ri chiziqli r —— ğ(u)+ v1(u) sirtning chiziqli
   

_ds² —— ²⁺ 2v /' ğ' + _v'/'² ) _du² + 21 p' du dv+ _dv²
elementini olib va unda i ni tabiiy parametr sifatida qabul qilib, ushbu
b —— 1'p’, c’ _l'² _, / p' —— cos &
belgilashlarni kiritsak, u holda
ds’ —— $1+ 2bv + c' v² ) du’ + 2 cos 8 du dv+ W'.
Sirtning chiziqli elementi bu sirtdagi (u, v) va (u+ du, v+dv) nuqtalar orasidagi masofaning kvadratini beradi. Uni quyidagi shaklda yozish mumkinligi isbotlansin:
ds’ —— (d'v + cos _8du)² + lsin' 8+ 2bv+ c’v’ )du^l .
Agar dv+ cos 8 du —— 0 va b’ + c²v = 0 bo“lsa, ds’ minimumga erishadi (nega?).

Demak, yasovchidagi qisilish nuqtasining v parametri v = — ^b’

dan aniqlanadi. Bundan

nuqtalarning geometrik o mi qisilish chizig“idir; b —— ğ'/' —— 0 bo’lsa,v = 0 dan iborat yo’naltiruvchi qisilish chizig’ini ifodalaydi (nega?).

10. 
    To’g’ri chiziqli sirtning hamma yasovchilari tayin (yo’na1tiruvchi) tekislikka parallel
    

bo“lsa, u Katalan sirti deyiladi. To’g“ri chiziqli sirtning Katalan sirti bo“lish sharti topilsin. Bunday sirtning to’1a aniq-lanishi uchun, unda yotuvchi ikkita (yo’naltiruvchi) chiziq bo’1ishi kerakmi?
Yo’na1tiruvchi1ari ikkita:
x’ + z’ - 2ax — 0, y = 0,
y² + z’ - 2ay — 0, x — 0.
aylanalardan iborat Katalan sirtining tenglamasi topilsin.
Ko’rsatma. /(u) yasovchi normal-vektori u dan iborat tekislikka doimo parallel bo’1sa, pl(i)
= 0, pl'(i) — 0, pl” (i j — 0 shartlar bajariladi. Bulardan:
Javob. Sirt ikki bo“lakdan iborat:
^{2 2)} + z’ —2a(x +y) = 0 (elliptik tsilindr),
z⁴+ z’ [(x - y )’ — 2a(x + y)] + 4s’ xy= 0.

11. 
    Katalan sirtining' hamma yasovchilari ma’lum bir to’g’ri chiziq bi-lan kesisha borsa, bunday sirt konoid deniladi. Bu to“g’ri (yo“naltiruvchi) chiziq yo“naltiruvchi tekislikka tik bo“lsa, u holda konoid t o g r i k o n o i d deb ataladi. Gelikoid to’g’ri konoid bo’la oladimi? Uning striktsion chizig“i nimadan iborat? Giperbolik paraboloid konoidmi?
    

Konoidning shaklini aniqlash uchun yo’na1tiruvchi to’g’ri chiziqni, tekis-likni va yana bitta yo’naltiruvchi chiziqni berish kerak. Masalan, a) yo’naltiruvchi to’g“ri chiziq u=0, z—h,
2 2

yo’naltiruvchi tekislik YOZ va yo’naltiruvchi chiziq
a’+ b’
= 1, z —— 0; b) yo’naltiruvchi

to’g“ri chiziq x= a, y— 0, yo“naltirunchi tekislik z 0, yo’naltiruvchi chiziq y² —2pz, x — 0.
2 _z

Javob. a) 1— ---y ——1
h b’
= 1 ; b) a’y’ — 2pz( x - a) .

Foydalanilgan adabiyotlar

' Katalan sirti adabiyotda bazan silidroid deyiladi.

1. 
   A.B. HoropenoB. FeoMerprix. M. « Hayxa» 1983.
   
2. 
   M.A.Sobirov va A.E. Yunupov. “ Differensial geometriya kursi”
   
3. 
   A. Ya. Narmanov “ Differensial geometriya”