Жуфт регрессион таҳлил

8.2. Регрессион таҳлилда энг кичик квадратлар усулининг қўлланилиши

Функциялар параметрлари одатда “энг кичик квадратлар” усули билан аникланади. Энг кичик квадратлар усулини мазмуни қуйидагича: хақиқий миқдорларнинг текисланган миқдорлардан фарқининг квадратлари йигиндиси энг кам бўлиши зарур:

(8.1)
Бир омилли чизиқли боғланишни олайлик:
(8.2)
Қиймат энг кам бўлиши учун биринчи даражали хосилалар нолга тенг бўлиши керак:
(8.3)


(8.4)

Бу нормал тенгламалар тизими.

Регрессион моделнинг параметрларини баҳолаш боғлиқ ўзгарувчи Y нинг тақсимланиш эҳтимолини топишдир. Моделда Y_i нормал тақсимланган ва вариацияси:
var (Y)=² га тенг
Энг кичик квадратлар усулида ҳисоблаш тамойили Y_i ларнинг хақиқий қийматларининг ўртача қийматидан фарқининг квадрати суммасини топишдан иборат. Демак:

ёки
(8.5)
бу ерда, S - фарқлар квадратлари суммаси.
 ва  , қийматларини топиш учун S нинг  ва  бўйича биринчи хосиласини топамиз:

(8.6)

Ҳар бир хосилани нолга тенглаштириб ҳисоблаб топилган ларнинг қийматини ҳисоблаймиз.

(8.7)
ёки бунга эквивалент равишда
(8.8)

Бу тенгламалар энг кичик квадратлар усулида нормал тенгламалар деб аталади. Бунда е энг кичик квадратлар қолдиғи:

(8.9)
тенглама ларга нисбатан ечилади.


(8.10)
Бу тенгликни бошқача кўринишда ҳам ёзиш мумкин:

Демак


(8.11)
ларнинг қиймати топилгандан сўнг  ларни биринчи тенгламадан топамиз. Демак,
(8.12)


8.3. Эластиклик коэффициентлари ва уларнинг иқтисодий таҳлил