Й. С. Шотемиров инвариантные подпространства и связанные состояния системы двух бозонов со цилиндрическим потенциалом

3. Спектр операторов и . Заметим, что спектры операторов и известны. Оператор не имеет собственных значений, его спектр чисто непрерывный и состоит из области значений функции т.е.

где

Спектр оператора состоит из множества при этом есть собственное значение оператора соответствующие ему собственная функция является При условии (2.2), является оператором Гильберта-Шмидта, в частности компактным оператором. Поэтому в силу теоремы Вейля, существенный спектр оператора совпадает со спектром оператора т.е.

Если тогда функция обращается в константу, т.е. и спектр оператора состоит из собственных значений вида и существенного спектра С уменшением ширины непрерывного спектра число собственных значений оператора Шредингера возрастает (см. [5],[7]). Если при некотором то существует потенциал такой что, оператор имеет бесконечное число собственных значений вне непрерывного спектра.

4. Инвариантные подпространство оператора . Известно, что пространство можно представить в виде прямую сумму:

Здесь


где состоит из нечетных функций на отрезке
Естественно ожидать инвариантность этих подпространств относительно оператора .
Оказывается, что эти подпространства являются инвариантными относительно оператора т.е. имеет место следующее утверждение.
Лемма 4.1 Пусть потенциал имеет виде (2.5). Тогда подпространства являются инвариантными относительно оператора
Обозначим через сужение оператора в инвариантном подпространстве
Спектральные свойства оператора изучено в [11].
Далее рассматривается оператор в и мы изучаем собственное значение и собственное функции оператора Система

образует ортонормированный базис в пространстве Обозначим через одномерное подпространство, натянутое на вектор . При этом пространств разлагается в прямые суммы

Разложение (4.1) порождает разложение

Здесь
Лемма 4.2. Пусть потенциал имеет вид (2.5). Тогда для любого подпространство является инвариантным относительно оператора .
Не сложные вычисление показывает, что сужение оператора на инвариантному подпространству имеет вид:
(4.2)
Здесь I – единичный оператор, - двумерный двухчастичный оператор , , и
.
Гильбертово пространство можно представить в виде прямой суммы
,
где
,
.