Ызбекистон Республикаси Олий ва

Биринчи тенгламанинг ечими

i.

Манфий қийматли илдиз (28) да х бўйича экспоненциал ўсишга олиб келади. Иккинчи характеристик тенгламани қуйидаги шаклда ёзишимиз мумкин

Бу тенгламанинг иккита илдизи мавжуд

.

Қон учун бўлгани сабабли, қуйидагини ёзишимиз мумкин

.
Шундай қилиб
.

Олинган ечимнинг таҳлили ҳар қандай u учун ечимларнинг экспоненциал ўсиши мавжуд эканлигини кўрсатади. Демак, Навье-Стокс тенгламаларининг олинган шакли қон ҳаракатига тўғри келмайди. (25)-(27) тенгламалар тизими эллиптик, чунки қуйидаги тенгламада

мавҳум ечимлар мавжуд.
Навье-Стокс тенгламаларини таҳлил қилишни давом эттирамиз. (25)-(27) тенгламаларида х ўқи бўйича катта хосилалар ²u/ x² ва ²V/ x² ларни ҳисобга олмаслигимиз мумкин. Унда Навье-Стокс қисқартирилган тенгламаларини оламиз:

Бу тизимининг характеристик тенгламаси қуйидагича бўлади

,

бу ерда

.

Характеристик тенгламани қуйидаги полином шаклида ёзишимиз мумкин

. (32)

Тенглама иккинчи кўпайтмасининг илдизи

х бўйича экспоненциал камаювчи ечим борлигини кўрсатади. Лекин (32)нинг биринчи кўпайтмаси илдизи х ўқи бўйича экспоненциал ўсувчи ечим ҳам мавжудлигини кўрсатади. Демак, (29)-(31) тенгламалар тизими эллиптик-параболикдир.

Ўтказилган сифатий таҳлил, Навье-Стокс тенгламаларининг қон ҳаракати қонуниятларини кўриб чиқиш учун ишлатилиши мумкин бўлган (биологик жараён моҳиятига тўғри келадиган, ҳаракат йўналиши бўйича экспоненциал камаювчи) ечим мавжуд эканлигини кўрсатади. Демак, Навье-Стокс тенгламалари тизимини чуқурроқ таҳлил қилиб, унинг ҳамма мумкин бўлган ечимлари қон ҳаракатига мос келадиган турини топишга ҳаракат қилишимиз мумкин. Агар қоннинг артерия ва вена томирларидаги ҳаракатини кўраётган бўлсак, унда Навье-Стокс тизимини таҳлил қилиш учун қутбий координат тизимига ўтишимиз маъқул бўлади. (25)-(27) тенгламалар тизими х,r ўзгарувчиларга (х – ҳаракат йўналиши бўйича, томир ўртасидан ўтувчи ўқ; r – радиал ўқ) нисбатан қуйидагича ёзилади

Худди аввалгидек, бу тизим ечимини қуйидаги кўринишда

(36)
қидирамиз. (36) ни (33)-(35) га қўйсак, қуйидаги тенгламага

келамиз. Бу ерда


.

Ушбу тенгламани қуйидаги полином шаклида ёзишимиз мумкин

.

Шу ўринда биз r ўзгарувчидан қутилаолмаганлигимизни таъкидлаб ўтишимиз керак. Демак характеристик тенглама олаолмадик. Бунинг учун махсус қутбий координата тизими танлаш ёки хусусий шартлар бажарилиши керак бўлиши мумкин.

Қутбий координата тизимида Навье-Стокснинг қисқартирилган тенгламаларини кўришимиз мумкин



Бу тизим эллиптик-параболик бўлиб, унинг учун кетма-кетлик алгоритмини тузиш мумкин эмас. Қоннинг томирдаги ҳаракатини моделлаштириш учун, (37)-(39) тизимни эллиптик қиладиган ҳадларни таҳлил қилиб чиқишимиз мумкин. Кўриниб турибдики (характеристик тенгламаларни қаранг) эллиптиклик импульс тенгламаларидаги босим ҳадининг узлуксизлик тенгламасидаги шунга ўхшаш ҳадлар билан ўзаро боғликлиги орқали келиб чиқади.
Қоннинг томирдаги ҳаракатида йўналиш бўйича тезлиги кўндаланг тезликка нисбатан анча катта бўлгани учун, босимни марказий йўналиш босими (P_c/l) ва кўндаланг қўшимча (P_c) босимга ажратиш мақсадга мувофиқ
P + P_c/l(x) Қ P_c(x,r).

Кўндаланг қийматларини солиштириб импульс тенгламасида  P_c / x ҳади ҳисобга олинмаслиги мумкин. Демак, импульс тенгламасининг х ўқи бўйича олинган кўринишида фақат P_c/l(x) ва r бўйича олинган кўринишида фақат P_c(x,r) қолади. Босимни шундай кўринишда ажратилиши Навье-Стокс эллиптик бўлмаган тенгламаларини

⁽⁴⁰⁾

олиш имконини беради. Бу ерда тўртта номаълум учун 3-та тенглама мавжуд. Агар стационар оқим учун массанинг ўзгаришини

(41)

ҳисобга олсак, ёпиқ тенгламалар тизими вужудга келади.

Сифатий таҳлиллар орқали олинган (40)-(41) тенгламалари қон ҳаракатини йирик томирларда моделлаштириш имконини беради. У эллиптик эмас ва х бўйича экспоненциал камаядиган тўлқинсимон ечимга эга.
Келтирилган сифатий таҳлил усули биомеханиканинг хусусий хосилали тенгламалар орқали кўрилаётган масалаларини ечишда ҳам ёрдам бериши мумкин. Шу усул орқали биологик тизимда кечаётган жараёнлар моҳиятига мос ечимга эга бўлган тенгламалар тузиш ва уларнинг умумий хусусиятларини таҳлил қилиш мумкин. Баъзи ҳолларда тенгламалар ечимларини чуқурроқ таҳлил қилиш керак бўлади. Бу ҳолларда тенгламаларнинг сифатий таҳлили махсус усуллар орқали амалга оширилади.