Ызбекистон Республикаси Олий ва

Расм7. ЭҲМ ёрдамида олинган норегуляр ҳаракат – хаос режимидаги траекториялар кўриниши (a- ҳаракат тенгламаси параметрининг бошланғич қийматида, b- параметрнинг катта қийматида)

Бундай ҳаракатнинг асосий хусусияти ҳам бор – бошланғич шартларнинг жуда ҳам кичик ўзгаришига «сезгирлик». Агар ҳаракат турғун бўлса, бошланғич шартлардаги кичик хатолик кейинги ҳолатларда ҳам шундай кичик хатоликка олиб келади. Агар ҳаракат нотурғун бўлса, бошланғич хатолик вақт ўтиши билан ошиб боради ва натижада тизим келажагини башорат қилиб бўлмайди.

Диссипатив тизимларнинг ҳолатлар фазосида нотурғун траекторияларни ўзига тортувчи тўплам борлиги аниқланган (Е.Лоренц, 1963); бу тўпламни стохастик аттрактор (инглизча attraction – тортиш сўзидан келиб чиққан) ёки «ғалати» аттрактор деб аталади. Оддий аттрактордан (турғун нуқта, лимит цикллар ва бошқалар) фарқли равишда «ғалати» аттрактор номи ҳаракат шаклларининг жуда мураккаблиги ва чигаллиги учун берилган.
Юзаки қараганда, аттракторга тегишли ҳамма траекторияларнинг нотурғунлиги талаби ва ҳамма қўшни траекторияларнинг t бўлганда унга интилиш талаби бир-бирига қарама-қаршидек туюлади, чунки нотурғунлик траекторияларни бир-биридан узоқлашишини билдиради. Агар биз траекторияларнинг бир йўналиши бўйича нотурғун, иккинчи йўналиши бўйича эса турғун бўлиши мумкинлигини ҳисобга олсак, бу қарама-қаршилик йўқолади.
n – ўлчовли ҳолатлар фазосида «ғалати» аттракторга тегишли траекториялар ҳамма (n-1) – йўналиш бўйича (битта йўналиш эса траектория бўйлаб ҳаракатга жавоб беради) нотурғун бўла олмайди, чунки бу бошланғич ҳажмнинг узлуксиз ошишини кўрсатар эди. Бу эса диссипатив тизим учун мумкин эмас. Демак, баъзи йўналишлар бўйича қўшни траекториялар аттракторга интилади, бошқалари бўйича эса ундан узоқлашади (расм 8). Бундай траекториялар эгар дейилади ва шунақа траекториялар тўплами «ғалати» аттракторни ташкил этади.





Расм 8. «/алати» аттрактор яқинидаги
траекториялар кўриниши
«/алати» аттрактор тебранишларнинг янги даврлари пайдо бўладиган бир-неча бифуркациядан кейин вужудга келиши мумкин: жуда кичик ночизиқликлар ҳам квазидаврий (тордаги ёпиқмас ўрама) режимни бузиши ва торда «ғалати» аттрактор пайдо қилиши мумкин. Лекин бу иккинчи бифуркацияда (стационар режимнинг бузилишдан бошлаб) рўй бериши мумкин эмас. Бундай бифуркация пайтида икки ўлчовли торда ёпиқмас ўрама пайдо бўлади. Кичик ночизиқликни ҳисобга олиш торни бузмайди ва демак «ғалати» аттрактор унда жойлашиши мумкин. Лекин икки ўлчовли сиртда нотурғун траекторияларни ўзига тортувчи тўпламнинг мавжуд бўлиши мумкин эмас, чунки ҳолатлар фазосида траекториялар бир-бири билан (ёки ўзи билан ўзи) кесиша олмайди. Бу классик тизимлар фаолиятидаги «сабаб-оқибат» принципига тўғри келмайди: тизим ҳолати унинг кейинги фаолиятини бирма-бир ифодалаб беради. Икки ўлчамли сиртда кесишиш мумкин эмаслиги траекториялар оқимини тартибга солади ва бу ерда хаос мумкин эмаслигини таъминлайди.
Учинчи бифуркацияда «ғалати» аттрактор пайдо бўлиши мумкин (лекин шарт эмас!). Бундай аттрактор уч частотали квазидаврий режим ўрнига келиши ва уч ўлчовли торда жойлашиши мумкин.
«/алати» аттрактор шакли тўғрисида унинг траекториялари нотурғунлиги (эгар туридаги) ва тизимнинг диссипативлигидан келиб чиқадиган баъзи бир умумий хусусиятларини айтиб ўтамиз.
Уч ўлчовли ҳолатлар фазосида икки ўлчовли тор ичида жойлашган аттракторни кўрамиз. Аттрактор томон кетаётган траекториялар сиқимини оламиз (улар орқали «стационар» хаотик ҳаракатга олиб бораётган режимни таҳлил қилиш мумкин). Кўндаланг кесимда траекториялар сиқими (аниқроғи, уларнинг изи) маълум юзани тўлдиради; сиқим бўйлаб шу юзанинг катталиги ва шакли ўзгаришини кузатамиз. Эгар траектория атрофида ҳажм элементи бир йўналиш (кўндаланг) бўйича чўзилади, бошқаси бўйича эса қисилади; тизим диссипативлиги учун қисилиш чўзилишдан кучлироқ, чунки ҳажм кичрайиши керак. Траектория бўйлаб бу йўналишлар алмашиши керак, бўлмаса траекториялар жуда узоққа кетиб қолиши мумкин (бу эса ҳаракат тезлигининг диссипатив тизимлар учун мумкин бўлмаган тарзда ошиб кетишига олиб келади). Демак сиқим кесими юза бўйича кичраяди ва қисилган, шу билан бирга эгилган шаклга киради. Лекин бу жараён фақат сиқим кесими билангина эмас, балки унинг ҳар бир элементида рўй беради. Натижада сиқим кесмаси бўшлиқлар билан бўлинган, бири-бирининг ичига жойлашган кесмаларга бўлиниб кетади. Вақт ўтиши билан (ёки траекториялар сиқими бўйлаб ҳаракат қилганда) кесмалар сони кўпайиб, улар эни эса кичрайиб боради. t да аттракторимиз эгар траекториялар жойлашган, бир-бири билан уринмайдиган саноқли чексиз кесма-сиртлар шаклида бўлади. Ўзининг ён томонлари ва учлари билан бу кесмалар жуда мураккаб тарзда бир-бирлари билан бирлашадилар; аттракторга тегишли траекториялар шу кесмалар бўйича чигал ҳаракат қилади ва катта вақт орасида аттракторнинг ҳоҳлаган нуқтасига жуда яқин келиши мумкин (эргодиклик хусусияти). Кесмаларнинг умумий ҳажми ва улар кесимининг умумий юзаси нолга тенг. Маълум бир йўналиш бўйича олинган бундай тўпламлар кантор тўпламлари категориясига тегишли. Шаклининг «кантор»лилиги «ғалати» аттракторнинг энг характерли хусусиятидир.
«/алати» аттрактор ҳажми унинг ўз ҳолатлар фазосида ҳамма вақт нолга тенг. Лекин унинг ҳажми кичикроқ ўлчовли фазода нолга тенг бўлмаслиги мумкин. У қўйидагича аниқланади: n- ўлчовли фазони қирралари  ва ҳажми ⁿ бўлган кичик кубикларга бўламиз. Аттракторни бутунлай бекитадиган кубикларнинг минимал сони N() бўлсин. Аттрактор ўлчовини қўйидаги ифода орқали аниқлаймиз
. (44)
Бу лимитнинг мавжуд бўлиши, D-ўлчовли фазода аттрактор ҳажми мавжуд эканини билдиради. Агар  жуда кичиклигини ҳисобга олсак, N()V^-D (V – ўзгармас) деб ёзишимиз мумкин. Бу ердан N() сонини D-ўлчовли фазода, V-ҳажмни бутунлай бекитадиган D-ўлчовли кубиклар сони деб қараш мумкин. (44)га асосан аниқланган D қиймати ҳолатлар фазоси ўлчовидан катта бўлиши мумкин эмас; ундан кичик бўлиши ва бизга маълум ўлчовлардан фарқлироқ каср шаклида бўлиши мумкин (кантор тўпламларига ўхшаш). Бу ерда аттракторни бутунлай бекитадиган n- ўлчовли кубиклар тўплами «деярли бўш» бўлиши мумкин; шунинг учун ҳам D2 ва Dқ2 ва ҳ.к.
«/алати» аттрактор билан боғлиқ ҳаракатнинг қуйидаги муҳим хусусиятига аҳамият берайлик. Агар хаотик ҳаракат барқарор бўлса (ҳаракат «ғалати аттракторга чиққан» бўлса) кўрилаётган диссипатив тизимнинг (масалан, ёпишқоқ суюқлик) бундай ҳаракати, ҳолатлар фазоси ўлчови кичикроқ бўлган диссипативмас тизимнинг стохастик ҳаракатидан принципиал фарқ қилмайди. Бу барқарор ҳаракат учун энергиянинг камайиши ҳаракатнинг бошқа жойидан (ёки номувазанатликни туғдирувчи бошқа имкониятдан) катта вақт оралиғида ўртача компенсация қилинади. Демак, аттракторга тегишли ҳажм элементи эволюциясини вақт бўйича кузатсак, бу ҳажм ўртача сақланади – бир йўналишдаги сиқилиш бошқа йўналишдаги чўзилиш билан компенсация қилинади. Аттракторнинг шу хоссасидан фойдаланиб, унинг ўлчовини баҳолашнинг бошқа усулини топишимиз мумкин.
«/алати» аттрактордаги ҳаракатнинг эргодиклигини назарда тутиб, унинг ўртача харакатеристикалари ҳолатлар фазосидаги аттракторга тегишли нотурғун траекторияни таҳлил қилиб аниқланиши мумкин. Бошқача қилиб айтганда, индивидуал траектория (агар у бўйлаб чексиз вақт ҳаракат қилинса) аттракторнинг ҳамма хоссаларини намоён қилади.
Xқx₀(t) функцияси (42)нинг ечими ва шундай индивидуал траекториянинг тенгламаси бўлсин. “Сферик” ҳажм элементининг шу траектория бўйлаб ҳаракат вақтидаги деформациясини кўрамиз. У (42) тенгламанинг Sқx-x₀(t) орқали чизиқланган шакли билан аниқланади. Компонентлар орқали ёзилган бу тенгламалар қуйидаги кўринишга эга


.

Ҳажм элементи траектория бўйлаб ҳаракатланганда бир хил йўналишларда қисилади, бошқа йўналишларда чўзилади ва демак сфера эллипсоидга айланади. Траектория бўйлаб ҳаракатланганда эллипсоид ярим ўқлари йўналиши ва улар узунлиги ўзгаради. Эллипсоид ярим ўқлари узунлигини l_s(t) деб белгилаймиз, бу ерда S- йўналишни билдиради. Ляпунов характеристик кўрсаткичи деб қуйидаги ифодага

, (46)

айтилади. Бу ерда l(0) – бошланғич сфера радиуси (шартли равишда tқ0 да олинган). Шундай йўл билан аниқланган қийматлар – моддий сонлар бўлиб, уларнинг умумий сони фазонинг ўлчови n га тенг. Бу сонлардан биттаси (траекториянинг йўналиши бўйича ҳисоблангани) нолга тенг.

Ляпунов кўрсаткичларининг йиғиндиси ҳолатлар фазосидаги элементар ҳажм ўзгаришининг траектория бўйлаб ўртача қийматини беради. Траекториянинг ҳар бир нуқтасидаги ҳажмнинг локал ўзгариши div x қ div  қ A_ii(t) билан берилади. Дивергенциянинг траектория бўйлаб ўртача қийматини қуйидагича ҳисоблаш мумкин


. (47)

Диссипатив тизимлар учун бу йиғинди манфий, чунки n-ўлчовли ҳолатлар фазосида ҳажм қисқаради. «/алати» аттрактор ўлчамини аниқлашда «унинг фазосида» ҳажмлар ўртача сақланади деб олинади. Бунинг учун Ляпунов кўрсаткичини L₁L₂…L_n шаклида жойлаштирамиз. Аттрактор ўлчови (D_L орқали ифодалаймиз) m ва mҚ1 сонлари орасида ётади. Бу ерда L_m нолдан катта, L_mҚ1 нолдан кичик. D_LқmҚd (d<1) нинг каср қисми қуйидаги тенгликдан топилади

(48)

Ушбу ифода орқали аттрактор ўлчамини тажрибадан олинган қийматлар орқали аниқлаш мумкин.