Iyerarxiya prinsipidan foydalanib matematik modellar qurish

8- Ma`ruza
IYERARXIYA PRINSIPIDAN FOYDALANIB MATEMATIK MODELLAR QURISH
Reja:
1. Modellarni qurishda iyerarxik yondashuv.
2. Iyerarxik modellarga misollar.


Tayanch iboralar: iyerarxik yondashuv, ishqalanish kuchi, harakat tenglamasi, yopishqoq muhitda harakat tenglamasi.


1. Modellarni qurishda iyerarxik yondashuv.
Juda kam hollarda eng sodda obyektlarning matematik modellari o‘rganilayotgan obyektning barcha asosiy xossalarni o‘z ichiga oladi va o‘rganish uchun qulay bo‘ladi. Shuning uchun «soddadan murakkabga» qarab yondashuv tabiiy hisoblanadi, bunda uncha murakkab bo‘lmagan model to‘liq o‘rganilgach keyingi bosqichga o‘tiladi. Bunday hollarda uncha qiyin bo‘lmagan va keyingisi oldingisining umumlashmasi bo‘lgan matematik modellar zanjiri hosil bo‘ladi (iyerarxiya). Bunday iyerarxik zanjirni quyidagi ko‘p qismli raketa modeli misolida ko‘rish mumkin.
Bizga ma’lumki, bir qismli raketa birinchi kosmik tezlikka erisha olmaydi. Bunga sabab yoqilg‘ini raketa struktura massasining keraksiz qismi – ishlatilgan qismi uchun sarflanishidir. Shuning uchun raketaning foydalanilgan, keyinchalik kerak bo‘lmaydigan qismini tashlab yuborish maqsadga muvofiqdir.
Faraz qilaylik, raketa -qismning umumiy massasi va raketa -qismning struktura massasi (demak, -qismning yoqilg‘i massasi ga teng bo‘ladi), – foydali massa og‘irligi bo‘lsin. miqdorning va gazning otilish tezligi miqdorning qiymatlarini barcha ta qismning har birida bir xil teng miqdorda bo‘lsin. Aniqlik uchun raketa 3 qismdan iborat deb olamiz, ya’ni . Bunday raketaning umumiy massasi ga teng bo‘ladi. Birinchi qismning yonilg‘isi to‘la sarflangan holni qaraymiz. Bu momentda raketaning umumiy massasi . U holda (Siolkovskiy) formulaga ko‘ra raketaning tezligi
.
Raketa tezlikka erishgach, -qismning struktura massasi esa tashlab yuboriladi. Bu vaqtda raketaning umumiy massasi ga teng bo‘lib, uning uchun qurilgan modeldan foydalanish mumkin (impulsning saqlanish qonuni) va ikkinchi qism yonilg‘isi sarflana boshlaydi. Bu vaqtdagi raketaning boshlang‘ich tezligi bo‘lganligini e’tiborga olsak, uning tezligi (Siolkovskiy formulasiga ko‘ra)

miqdorga teng bo‘ladi. Xuddi shu tarzda mulohaza yuritib, uchinchi qism yonilg‘isi ishga tushirilganda, raketa tezligi uchun ushbu

tenglikni hosil qilamiz. Bu zanjirni ixtiyoriy sondagi bosqich uchun qo‘llash mumkin. Bu tenglikni yuqoridagi tengliklarga ko‘ra, quyidagicha yozish mumkin:

yoki
.
Ushbu , ва belgilashlarni kiritsak, oxirgi tenglikdan

ni hosil qilamiz. Bu tenglikdan raketa maksimal tezlikka simmetrik holatda, ya’ni bo‘lganda erishishi kelib chiqadi. holda desak, . ko‘paytma, osongina tekshirish mumkinki, nisbatga teng, yoki:

tenglikka ega bo‘lamiz.
Xuddi yuqoridagidek mulohoza yuritib, ixtiyoriy -qismli raketa uchun quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
(1)
(1) formuladan quyidagi xulosalarni hosil qilamiz: км/c, desak, da , da va da tengliklarni hosil qilamiz, ya’ni ikki qismli raketa yer orbitasiga foydali massani chiqarishi mumkin, lekin tonna foydali massani chiqarish uchun tonnali raketa zarur bo‘lar ekan. Uch pog‘onali modelda raketa massasi ikki barobarga qisqaradi, lekin bunday raketa konstruksiyasi murakkablashadi.