Ixtisoslikdagi

2. d ■[b + c^j = a - b + a ■ c.

3. X ■ a -b = X-[a -b^.

4. a = Vfl • a =

5. 5 - 6 = 0 <=» a 1

^-
Koordinata o ‘qlarining birlik vektorlari — ortlaming skalar ko'paytmalari:
J . J = ] . j = k - k = \; i ■ j = j • fc = i ■ k = 0.


b cosqj = pr3b bo‘lganidan (10 - rasm)

„ r o-A

a va A vektorlar to ‘g‘ri burchakli bazisdagi koordinatalari bilan berilgan bo‘lsa, ya'ni a{a{, a2; a,}, 6 {Z^; b2; &3} bo‘lsa, u holda skalar ko‘paytma quyidagiga teng bo‘ladi:
a •b = ajjy + Ojb^ + a^b^.


Ikkita a va b vektor orasidagi burchakni topish form ulasi:


A
cos a, b ^a-b ab


yoki
^{A J \} a^-bi+ai-bi+aylh,
cos a, b
■JaJ+a\ +aj -
Ikki vektom ing perpendikularlik sharti:
1
ti b = 0 yoki ax ■ +a2 • b2 + a3 • b2 = 0 . ¹
1
1_\
tkki vektom ing kollinearlik sharti: _{1___-fc.}
a = Xb & f L = % = f L.


41

www.ziyouz.com kutubxonasi

F kuchning moddiy nuqtani S vektor bo‘yicha ko'chirishda bajargan ishi quyidagicha hisoblanadi:
A = F ■ S.
1 - misol. a = 2 / + j va b = - 2 j + k vektorlarga yasalgan parallelogrammning diagonallari orasidagi burchakni toping.
► D iagonallar c = a + b = 2 i ~ j + k va d=a~b=2+2j-k vektorlar bo‘lganligi uchun ular orasidagi burchak quyidagicha topiladi:
_cos ^{( A} _d c-d _ 2-2—1-3+1-(—I)
C,
+ ( - l f+ l 2^ 22+32+ (-i)2
o ^{( A -'i}
= 0, c, d -= 90°. < 4
76-714 _{k )}
2-m isol. Uchlari A( 1; 2 ; - 4 ) , B(4; 2 ; 0 ) va C (- 3 ; 2 ; - 1)
nuqtalarda bo‘lgan uchburchakning perimetrini va burchaklarini toping.
^{( ___ A ___ \} ( ___ A ___ \
ZA = AB, A C , Z B = \ B A , B C
l ) l J
( __ A ___ \
^{ZC =} CA, CB = m ° - ( z A + z b )
\ y
ekanligidan foydalanamiz. U holda AB =AB{3; 0; 4}, _{A C =}
=AC{ ~ 4; 0; 3},
BC = BC{- 7; 0; 1}, BA = BA{-3; 0; - 4},
C4=CA{4; 0; - 3 } , CB = CB{1; 0; l};
AB = y[9 + 16 = 5, A C = Vl6 + 9 = 5, B C = ^49 + 1 = 5>/2. _{cosZ^ =} AB AC _ 3(-4)+00+4-3 _ 0 _{ZA = 90°;}
A B A C 5-5 5
_{COS Z B =} ^{BA BC _ -3 (-7 )+ 0 0 -4 (-l)} 25 l .
BABC 5-572 _{25j2 7 2 ’} ^{ZA = 45'.}
42


Unda ZC = 180° - (90° + 45°) = 45°. Uchburchakning perimetri:
P =AB +AC + BC = 5 + 5 + 5V2; P = 5(2 +y[2). A
3- misol. a, b va c komplanar vektorlar uchun a —3, b —2,
r a
_II_L/ f _b- _,A _c
^{l a , b = 60° va} = 60°. u = a + b ~ c vektomi
l J _{l )}
yasang va uning modulini toping.
^ u = a + b + (—c), ya’ni u vektor a, b va - c vektorlar
yig‘indisidan iborat, uni shakldagidek yasaymiz ( 1 1 - rasm).
Rasmdan ko‘rinadiki, ⁽ a - c ⁱ =120 ^, u ning modulini
a, °.
u = 'JiP formula bo‘yicha topamiz:


u = = yj(a + b - c ) = ^(a + b + (-c)) =

= yja2 + b2 + c1 + 2 • a • b - 2 ■ b ■ -c 2 •a ■ c ■

yja2 + b 2 + c 2 + 2 •a -b • cos 60° - = >/2 ■ b ■ c ■ cos 60 - 2 • a c • cos 120°

^9 + 4 + 25 + 2- 3- 2- i - 2- 2- 5- i - 2 -3 5- ( - i ) = ^/49 = 7;

« = 7.


43



Mustaqil bajarish uchun mashqlar
2.1. <3, ivektorlar uchun a —2, b —3, a , b ²ⁿ bo‘lsa, quyidagilami toping. ^
1) a- b; 2) {2a + 4b^■{a + 2b^; 3) {a + b^ .
2 .2 . a = 7 - ] va b =- J + 2j - 2 k vektorlar orasidagi burchakni toping.
2.3. c = 3, —5 bo‘lsa, a ning qanday qiymatlarida c + ad va
c - a d vektorlar perpendikular bo‘ladi?
_ _ -> ->
2.4. a = ex+~2 e2 va b = 5 e, - 4 e2 vektorlar o'zaro perpendikular
bo‘lsa, c, va e2 birhk vektorlar orasidagi burchakni toping.


2.5. Oj (4; -2; • - 4 ) va ^ (6 ; -3; 2 )vektorIar berilgan. Quyida-
—> —v f' —> —>\ —> —>^
gilami toping: 1) ^ 2) 2 ^ - 3 0 2 ; 3)
2
; 4) 2 ^ - 0 2 ^{; 5) pr^ a2; 6 ) p r ^ .}
“J «2
2.6. yl(2; 2) va 5(5; —2) nuqtalar berilgan. Abssissalar o'qida
shunday 5 nuqtani topingki, ZAPB = 2- bo‘lsin.
2.7. Uchlari >1(2; - 1 ; 3), 5(1; 1; 1) va C(0; 0; 5) nuqtalarda bo'lgan uchburchakning burchaklarini toping.
2.8. Tekislikda uchlari 0(0; 0), A(2a; 0) va B(a; —a) nuqtalarda
boigan uchburchak berilgan. 0 5 tomon va OM mediana orasidagi burchakni toping.
2.9. 5 = 3/ + 4 j va 5 = 4/ - 5 j + 3k vcktorlar bcrilgan. ptj} va prfc5 ni toping.
2.10. Ifodani hisoblang: (2/ + 3j ^ j + ( 3 j - k ' j k + { 2 j + k ^ ( i ~ j ( -

2.11. a = 2>/2, 6 = 4, (a, 5*1 = 135° bo'lsa, (a - 5 ) nitoping.

2,12. m va /f birlik vcktorlar va = 30’ boisa, (im + n)2ni


toping.

www.ziyouz.com kutubxonasi

f
2.13. mva n birlik vektorlar va ^{m, n} 60° bo‘lsa, a = 2 m + n
\ J
va b = m - 2n vektorlarga yasalgan parallelogram m diagonallari uzunliklarini toping.
2.14. ABCD parallelogrammning A(2; 1 ; 3), B(5; 2 ; —1 ), C(—3;
3, —3) uchlari berilgan. AC va BD diagonallari orasidagi burchakning kosinusini toping.
2.15. Kvadratning uchidan shu uch yotmagan tomonlar o‘rtalari orqali to‘g‘ri chiziqlar o'tkazilgan. Shu to ‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchakni toping.
2.16. Uchlari zl(-3; 5; 6 ), B( 1; - 5 ; 7), C(8 ; - 3 ; - 1 ) va D(4; 7; - 2 )
nuqtalarda bo‘lgan to‘rtburchakning kvadrat ekanligini isbotlang.
2.17. Moddiy nuqtani F - i +2 j +k kuch ta'sirida A(—l; 2; 0) nuqtadan B(2; 1; 3) nuqtaga ko‘chirishda bajarilgan ishni toping.
2.18. Harakatdagi nuqta ko‘chishining koordinata o ‘qlaridagi proyeksiyalari Sx= 2m, Sy=\ m, Sz = - 2 m va ta’sir etayotgan kuchning proycksiyalari^Fx= 5N, 7^ = 4N, Fz= 3N bo‘lsa, F kuchning ishini va F kuch bilan S ko‘chish orasidagi burchakni toping.
2.19. Tomonlari 6 sm va 4 sm bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakning uchidan qarama-qarshi tomonlarni teng ikkiga bo‘luvchi to‘g‘ri chiziqlar o'tkazilgan. Shu to ‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchakni toping.
2.20. Kubning uchiga shu uchdan chiqib, kub yoqlarining diagonallari bo‘ylab yo‘nalgan va kattaliklari 1, 2 va 3 ga teng kuchlar qo‘yilgan. Shu kuchlar teng ta’sir etuvchisining kattaligini toping.