Iv b î b funêsiyaning liìIÒi và uzluêsizligi 1-§. Funksiyaning limiti Funksiyaning nuqtàdàgi bir tîmînlàmà limiti

2. Funksiyaning îràliqdà uzluksizligi. Àgàr y = f (x) funksiya Õ

îràliqdàgi  bàrchà  nuqtàlàrdà  uzluksiz  bo‘lsà,  f (x)  funksiya  shu

îràliqdà uzluksiz dåyilàdi.

1 - m i s î l .  y = x 

2

 + x + 1  funksiya X = (-¥; +¥)  îràliqdà

uzluksizmi?

Y e c h i s h .  (-¥; +¥) îràliqdàgi bàrchà x = a nuqtà uchun

2

2

lim ( )

lim (

1)

1

( )

x

a

x

a

y x

x

x

a

a

f a

®

®

=

+ +

=

+ + =

tånglik o‘rinli bo‘lgàni sàbàbli, y(x) funksiya X = (-¥; +¥) îràliqdà

uzluksizdir.

2 - m i s î l .  

1

3

x

y

-

=

 funksiya x = (0; 5) îràliqdà uzluksizmi?

Y e c h i s h .   Bårilgàn  funksiya  x  =  3Î(0;  5)  nuqtàdà  àniq-

lànmàgàn. Shu sàbàbli, u x = 3 nuqtàdà uzilishgà egà. Dåmàk,

bårilgàn funksiya  x = (0; 5) îràliqdà uzluksiz emàs.

Êåsmàdà uzluksiz bo‘lgàn funksiya bir qàtîr àjîyib õîssàlàrgà

egà. Shu sàbàbli X = [a; b] bo‘lgàn hîlgà àlîhidà to‘õtàlàmiz.

Àgàr  y  = f (x)  funksiya  bàrchà  xÎ(a;  b)  nuqtàlàrdà  uzluksiz

bo‘lsà và x = a nuqtàdà o‘ngdàn, x = b nuqtàdà esà chàpdàn uzluksiz

bo‘lsà, f (x)  funksiya [a; b] kåsmàdà uzluksiz dåyilàdi.

Endi kåsmàdà uzluksiz bo‘lgàn funksiyaning õîssàlàrini ifîdà-

lîvchi tåîråmàlàrni và ulàrning gåîmåtrik tàlqinini kåltiràmiz.

170

1 - t å î r å m à .   Àgàr    f (x)  funksiya  [a;  b]  kåsmàdà  uzluksiz

bo‘lsà,  bu  funksiya  [a;  b]  îràliqdà  chågàràlàngàn  bo‘làdi,  ya’ni

shundày o‘zgàrmàs Ì > 0 sîn tîpilàdiki, bàrchà xÎ[a; b] làr uchun

 

f x

M

( ) £

tångsizlik bàjàrilàdi (IV.23-ràsm).

y = f (x) funksiyaning [a; b] kåsmàdàgi gràfigi [-M; M] yo‘làkdà

jîylàshgàn.

2 - t å î r å m à .  [a; b] kåsmàdà uzluksiz bo‘lgàn f (x) funksiya

shu  îràliqdà  o‘zining  eng  kàttà  và  eng  kichik  qiymàtlàrigà  egà

bo‘làdi  (IV.24-ràsmgà qàràng:  f (c) = a – eng  kichik  qiymàt,

 f (d) = b – eng kàttà qiymàt).

3 - t å î r å m à .   [a;  b]  kåsmàdà  uzluksiz  f (x)  funksiya  uchun

f (a) × f (b) < 0 bo‘lsà,  funksiya nîlgà tång qiymàt qàbul qilàdigàn,

ya’ni  f (c) = 0 bo‘làdigàn kàmidà bittà cÎ(a; b) nuqtà màvjud bo‘làdi

(IV.25-ràsm).

4 - t å î r å m à .  f (x) funksiya [a; b] kåsmàdà uzluksiz và min

{f (a), f (b)} = A, max{f (a),  f (b)} = B bo‘lsà, f (x) funksiya À và B

îràsidàgi hàr qàndày C qiymàtni qàbul qilàdi (IV.26-ràsm).

Y

M

-M

O        a               b        X

a

Y

O        a              d       b   X

f

 

(d) = b

y = f

 

(x)

y = f

 

(x)

b

                   

 IV.23-ràsm.                                         IV.24-rasm.

f

 

(c) = a

Y

c

O      a     c                            X

b

f (c) = 0

Y

O           a  c

1

      c

2

    c

3

    b         X

A

C

B

y = f (x)

              

     IV.25-rasm.                                         IV.26-rasm.

f (c

1

) = C,  f (c

2

) = C,  f (c

3

) = C

171

5 - t å î r å m à .  Àgàr f (x) funksiya [a; b] kåsmàdà uzluksiz và

(a; b) intårvàldà nîlgà àylànmàsà, u shu îràliqning bàrchà ichki

nuqtàlàridà bir õil ishîràli bo‘làdi (IV.27-ràsm).

y

 = c (c = const), y = x

n

, y

 = a

x

 (a >

 0, a ¹ 0), y = log

a

x (a

 > 0,

a

 ¹ 0), y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx, y = arcsinx, y = arccosx,

y =

 arctgx và y = arcctgx funksiyalàr eng sîddà elåmåntàr funksiya-

làr,  ulàr  ustidà  chåkli  màrtà  àrifmåtik  àmàllàr,  shuningdåk

funksiyadàn  funksiya  îlish (funksiyalàr supårpîzitsiyasi) àmàllà-

rini bàjàrishdàn hîsil bo‘lgàn funksiyalàr esà elåmåntàr funksiya-

làr dåb àtàlishini eslàtib o‘tàmiz.

Ìàsàlàn, y =

 sin(ln

2

x +

 cosx - x

2

 + arctg(cosx

2

)

 + 1) funksiya

elåmåntàr funksiya, 1-bànddà kåltirilgàn 2-misîldàgi funksiya esà

elåmåntàr funksiya emàs.

Îliy màtåmàtikà kursidà quyidàgi tåîråmà isbîtlànàdi.

Ò å î r å m à . Bàrchà elåmåntàr funksiyalàr o‘zining àniqlànish

sîhàsidà uzluksizdir.

3 - m i s î l .  

y

x

x

=

-

+

1

5

6

2

 funksiya uzluksiz bo‘làdigàn bàrchà

nuqtàlàr to‘plàmini tîpàmiz.

Y e c h i s h .   Bårilgàn  funksiya  elåmåntàr  funksiya  và  uning

àniqlànish  sîhàsi  (-¥;  2)È(2;  3)È(3;  +¥)  to‘plàmdàn  ibîràt.

Yuqîridà  kåltirilgàn  tåîråmàgà  ko‘rà  bu  to‘plàm  izlàngàn

to‘plàmdir.

4 - m i s î l .  

1

(1

)

x

y

x

= +

  funksiya  uzluksiz  bo‘làdigàn  bàrchà

nuqtàlàr to‘plàmini tîping.

Y e c h i s h .   Bu  funksiya  dàràjàli-ko‘rsàtkichli  y

  =  u(x)

v(x)

funksiyaning  õususiy  hîli  bo‘lib,  dàràjàli-ko‘rsàtkichli  funksiya

tà’rifigà ko‘rà 

1

1

1 ln(1 )

ln(1

)

(1

)

x

x

x

x

x

y

x

e

e

+

+

=

+

=

=

 tånglik o‘rin-

Y

O  a                         b  X

y = f

 

(x)

Y

y = f

 

(x)

O                               X

a             b

f

 

(x) > 0, xÎ(a, b)

f

 

(x) < 0, xÎ(a, b)

IV.27-rasm.

a)

b)

172

lidir. Bundàn qàràlàyotgàn funksiya elåmåntàr funksiya ekànligi

và  uning  àniqlànish  sîhàsi  (-1;  0)È(0;  +¥)  to‘plàmdàn

ibîràtligini ko‘ràmiz.

Yuqîridà kåltirilgàn tåîråmàgà ko‘rà, (-1; 0)È(0; +¥) to‘plàm

izlàngàn to‘plàmdir.

Ì à s h q l à r

4.21. Funksiyalàrning uzluksizlik îràliqlàrini tîping:

1) 

(

1)(

3)

x

x

x

y

-

-

=

;

2) 

2

1

2

3

x

x

y

+

-

=

;

3) 

2

3

2

2

8

12

x

x

x

x

x

y

+

-

-

-

=

;

4) 

1

1

3

4

x

x

y

+

-

=

-

;

5) 

2

,  

0,

( )

1,  

0;

x

x

f x

x

x

ì-

<

ï

= í

-

>

ïî

;

6) 

1

,  

2,  

0,

( )

0,  

0,

, 

2.

x

x

x

f x

x

x x

ì

£

¹

ïï

=

=

í

ï

>

ïî

4.22.  f (x)  funksiyaning  x  =

  k,  l,  m,  n  dàgi  qiymàtlàrini

hisîblàng,  ishîràlàrining  sàqlànish  và  nîllàri  màvjud  bo‘lgàn

intårvàllàrini àniqlàng, [a; b]  îràliqdàgi nîlini e gàchà àniqlikdà

tîping («kåsmàni tång ikkigà bo‘lish» và àl-Êîshiy usullàrini tàtbiq

eting, mikrîkàlkulatîr yoki EHÌ dàn fîydàlàning):

1)  f  (x)

 = x 

3

  -  6x

 + 5, k = -3, l = -2, m = 1,5,  n = 2, a = l,

b = m,  e = 0,001;

2) f (x)

 = x 

3

 - 4x

 - 3, k = -1,5, l = -1,2, m = 0, n = 4, a = -1,5,

b = -1,2,  e = 0,001;

3) f (x)

 = x 

3

 - 3x

 + 2 = 0, k = -3, l = -1, m = 2, n = 3, a = -3,

b = 0, e = 0,01.

4.23. 

4

2

0

x

x

x

+ - =  tånglàmà [0,5; 1,5] kåsmàdà ildizgà egà

ekànini isbît qiling và shu ildizni 0,01 gàchà àniqlik bilàn tîping.

4.24. Òångsizlikni yeching:

1) (x + 5)(x - 4)

 > 0;

2) (x + 4)(x - 3)

 < 0;

3) (x + 2)(x + 4)(x + 5)

 ³ 0;

4) (x 

2

 - 1)(x + 6)

 < 0.

173

4.25. Òångsizlikni yeching:

1) (x - 1)

7

(x + 2)(x + 4)

10

 > 0;

2) x 

3

 - 4x 

2

 - x + 4

 > 0.

4.26. Òångsizlikni yeching:

1) 

3

4

2

27

(

16)(

25)

0

x

x

x

+

-

-

> ;

2) 

2

3

2

9

2

4

0

x

x

x

x

-

-

+

³ .

3. Àjîyib limitlàr. Êo‘pchilik hîllàrdà limitlàrni hisîblàsh màsàlàsi

0

sin

lim

1

x

x

x

®

= ,                                                    (1)

1

0

lim (1

)

x

x

x

e

®

+

=                                                   (2)

fîrmulàlàr  yordàmidà  hàl  etilishi  mumkin.  Ulàrdàn  birini,

màsàlàn, (1) tånglikni isbîtlàsh bilàn chåklànàmiz. 

sin(

)

sin

x

x

x

x

-

-

=

tånglik  bàrchà  x  ¹ 0  sînlàri  uchun  o‘rinli  bo‘lgàni  sàbàbli,  (1)

tånglikni x®0 + 0 bo‘lgàn hîl uchun isbîtlàsh yetàrlidir.

x®0 + 0 bo‘lsin. U hîldà 

2

0;  

x

p

Î

 và sinx > 0 dåb hisîblàsh

mumkin.

Birlik àylànàning 2x ràdiànli MN yoyini qàràymiz (IV.28-

ràsm). U hîldà 

2

 

M N

x

=

(

 và 

MN

x

MK

x

=

=

2

2

2

sin , 

tg

 tångliklàr

o‘rinli bo‘làdi, chunki M nuqtàning îrdinàtàsi sinx gà, MK uzunlik

esà tgx gà tångdir.

2

 

MN

M N

MK

<

<

(

 yoki 2sinx < 2x < 2tgx, ya’ni sinx < x < tgx

ekànligini ko‘ràmiz. Bu tångsizlikning hàmmà hàdlàrini sinx > 0

gà bo‘lib, 

1

sin

cos

1

x

x

x

<

<

 và dåmàk,

sin

cos

1

x

x

x <

<                (3)

tångsizlikkà egà bo‘làmiz.

y = cosx funksiya uzluksiz bo‘l-

gàni  uchun  

0

lim cos

x

x

®

=   cos 0 1

=

tånglik o‘rinli bo‘làdi.

1-§, 3-bànd, 5-tåîråmàgà ko‘rà,

(3)  tångsizlikdàn 

0

sin

lim

1

x

x

x

®

=

ekànligi kålib chiqàdi.

Y

O                   K      X

1

M

N

x

x

tgx

IV.28-rasm.

174

1 - m i s î l .  

0

sin

lim

x

kx

mx

®

 limitni hisîblàymiz (k ¹ 0, m ¹ 0).

Y e c h i s h .  kx = t dåb îlàmiz. x®0 dà t®0 và, àksinchà, t®0

dà  x®0 ekànini ko‘rish qiyin emàs. U hîldà (1) tånglikkà ko‘rà

0

0

0

0

sin

1

sin

sin

sin

lim

lim

lim

lim

1

x

x

x

x

kx

k

kx

k

kx

k

t

k

k

mx

m

kx

m

kx

m

t

m

m

®

®

®

®

=

=

=

=

× =

bo‘làdi.

2 - m i s î l .  

0

sin

sin

lim

x

kx

mx

®

 limitni hisîblàymiz (k ¹ 0, m ¹ 0).

Y e c h i s h .  

sin

sin

sin

1

sin

sin

sin

kx

m

kx

kx

m

kx

mx

k

mx

mx

k

mx

mx

kx

=

×

×

=

×

×

 bo‘lgàni

uchun 1-misîlgà ko‘rà

0

0

0

0

sin

sin

1

sin

1

sin

sin

sin

lim

lim

lim

lim

x

x

x

x

kx

m

kx

m

kx

mx

k

mx

mx

k

mx

mx

kx

kx

®

®

®

®

æ

ö

ç

÷

=

×

×

=

×

×

=

ç

÷

è

ø

1

m k

k

k m m

m

k

=

× ×

=

bo‘làdi.

3 - m i s î l .  

2

0

cos 5

cos 9

lim

x

x

x

x

®

-

  limitni hisîblàymiz.

Y e c h i s h .  

2

2

cos 5

cos 9

2 sin 7 sin 2

sin 7

sin 2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

-

=

= ×

×

bo‘lgàni  uchun 

2

0

0

0

cos 5

cos 9

sin 7

sin 2

lim

2 lim

lim

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

®

®

®

-

= ×

×

=

7 2

1 1

2

28

= × × =

  tånglikkà egàmiz.

(1) tånglik birinchi àjîyib limit, (2) tånglik ikkinchi àjîyib limit

dåb yuritilàdi.

4 - m i s î l .  

0

1

lim

,  (

0,  

1)

x

x

a

x

a

a

®

-

>

¹

 limitni hisîblàymiz.

Y e c h i s h .   y  = a

x

  - 1  tånglik  yordàmidà  yangi  o‘zgàruvchi

kiritàmiz. U hîldà, x = log

a

(1 + y) bo‘lgàni uchun

1

log (1

)

x

a

y

a

x

y

-

+

=

   yoki   

1

1

1

1 log (1 )

log (1

)

x

a

y

a

y

a

x

y

y

y

-

+

+

=

=

tånglik o‘rinli bo‘làdi.

175

x®0  dà  y®0  ekànini  và,  àksinchà,  y®0  dà  x®0  ekànini

ko‘rish qiyin emàs.

1

log (1

)

y

a

y

+

  uzluksiz  funksiya  bo‘lgàni  uchun  (2)  tånglikkà

ko‘rà 

1

1

0

0

1

ln

lim log (1

)

log

lim (1

)

log

y

y

a

a

a

y

y

a

y

y

e

æ

ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

®

®

ç

÷

è

ø

+

=

+

=

=

 tång-

likkà egàmiz. U hîldà

1

1

0

0

0

1

1

1

log (1

)

lim log (1

)

lim

lim

ln

x

x

y

y

y

a

a

y

a

x

y

y

a

®

®

®

-

+

+

=

=

=

.

4-misîlni yechish jàràyonidà 

0

log (1

)

1

ln

lim

a

y

y

y

a

®

+

=

 tånglik hàm

isbîtlàngànligini eslàtib o‘tàmiz.