Iv b î b funêsiyaning liìIÒi và uzluêsizligi 1-§. Funksiyaning limiti Funksiyaning nuqtàdàgi bir tîmînlàmà limiti

IV.9- rasm.

150

tàdàgi chàp limiti hàm, o‘ng limiti hàm +¥ (-¥) gà tång bo‘lsà,

f (x)  funksiyaning x = a nuqtàdàgi limiti +¥ (mîs ràvishdà -¥) gà

tång  dåyilàdi  và  lim ( )

x a

f x

®

= +¥   (mîs  ràvishdà  lim ( )

x

a

f x

®

= -¥ )

ko‘rinishdà bålgilànàdi (IV.10-ràsm).

Àgàr  lim

( )

x

a

f x

®

= +¥  bo‘lsà, iõtiyoriy E > 0 sîn uchun shundày

(N; a) và (a; M) intårvàllàr tîpilàdiki, bu intårvàllàrdàgi bàrchà x

làr uchun f (x) > E tångsizlik bàjàrilàdi.

Àgàr  lim ( )

x a

f x

®

= -¥  bo‘lsà, iõtiyoriy E < 0 sîn uchun shundày

(N; a) và (a; M) intårvàllàr tîpilàdiki, bu intårvàldàgi bàrchà x

làr uchun   f (x) < E tångsizlik bàjàrilàdi.

4 - m i s î l .  

1

0

lim

x

x ®

= +¥  ekànligini isbîtlàng.

I s b î t .   E  iõtiyoriy  musbàt  sîn  và  x

  ¹  0  bo‘lsin.  U  hîldà

1

( )

x

f x

E

=

>

  tångsizlik 

1

1

0,

0

E

E

x

x

ì- < <

ï

í

< <

ïî

  tångsizliklàr  siståmàsigà

tång kuchlidir. Bu yerdàn ko‘rinàdiki, tà’rifdà so‘z bîrgàn N sîn

sifàtidà 

1

;  0

E

-

 îràliqdàgi, M sîn sifàtidà esà 

1

0;  

E

 îràliqdàgi

hàr  qàndày  sînni  îlish  mumkin.  U  hîldà  (N;  M)  îràliqdàgi

bàrchà x

 ¹ 0 sînlàr uchun f (x) > E tångsizlik bàjàrilàdi. Dåmàk,

1

0

lim

x

x ®

= +¥.

Y

X

O

a

lim

( )

x

a

f x

®

= +¥

Y

X

O

a

( )

f a

                            

à)                                            b)

IV.10- rasm.

lim

( )

x

a

f x

®

= -¥

151

Àgàr  lim

( )

x

a

f x

®

= +¥   yoki  lim ( )

x

a

f x

®

= -¥   bo‘lsà,  f  (x)

funksiya x = a nuqtàdà (x®a dà) àniq ishîràli chåksiz limitgà egà

dåyilàdi.

Àgàr f (x) funksiyaning x = a nuqtàdàgi bir tîmînlàmà limit-

làrining biri +¥ gà, ikkinchisi esà -¥ gà tång bo‘lsà, f (x) funksiya

x = a nuqtàdà àniqmàs ishîràli chåksiz limitgà egà dåyilàdi.

1

x

y =

  funksiya  x  =  0  nuqtàdà  àniq  ishîràli  chåksiz  limitgà

(4-misîl) egà, 

y

x

=

1

  funksiya esà x = 0 nuqtàdà àniqmàs ishîràli

chåksiz limitgà egà (1-bànd, 4–5-misîllàr).

x = à nuqtàdà àniq ishîràli yoki àniqmàs ishîràli chåksiz li-

mitgà egà bo‘lgàn f (x) funksiya shu nuqtàdà chåksiz kàttà funksiya

dåyilàdi và  lim

( )

x

a

f x

®

= ¥  ko‘rinishdà bålgilànàdi.

1

x

y =

, 

1

x

y =  funksiyalàrning hàr biri x

 = 0 nuqtàdà chåksiz

kàttà  funksiyalàrdir 

1

1

lim

,   lim

x

x

x a

x a

®

®

æ

ö

= +¥

= ¥

ç

÷

è

ø

.

5 - m i s î l .  

1

1,  agar 

0 bo‘lsa,

( )

,  agar 

0 bo‘lsa

x

x

f x

x

£

ìï

= í

>

ïî

  funksiyaning  grà-

figi  IV.11-ràsmdà  tàsvirlàngàn. 

0 0

0 0

lim

( )

lim 1 1

x

x

f x

® -

® -

=

=   và

0 0

lim

( )

x

f x

® +

=

1

0 0

lim

x

x ® +

= +¥   tångliklàrgà  egàmiz.  Bu  yerdàn

ko‘rinàdiki,  f (x)  funksiya  x  = 0  nuqtàdà  chåksiz  kàttà  funksiya

hàm emàs, shuningdåk chåkli limitgà hàm egà emàs.

Àgàr  lim ( ) 0

x

a

f x

®

=  bo‘lsà, f (x) funksiya x = a nuqtàdà chåksiz

kichik funksiya dåyilàdi. Ìàsàlàn, 

4

y

x

=

- , 

2

y

x

=

-   funk-

siyalàrning hàr biri x = 4 nuqtàdà chåk-

siz kichikdir.

Chåksiz kichik và chåksiz kàttà funk-

siyalàr îràsidàgi munîsàbàtni ifîdàlîvchi

tåîråmàni isbîtsiz kåltiràmiz.

Ò å î r å m à .  Àgàr f (x) funksiya x =

 a

nuqtàdà  chåksiz  kàttà  (chåksiz  kichik)

funksiya  bo‘lsà, 

1

( )

f x

  funksiya  x  =

  a

nuqtàdà  chåksiz  kichik  (chåksiz  kàttà)

funksiya bo‘làdi.

 -1 O      1    2   3    4          X

 -1

4

3

2

y = 1

y

x

=

1

Y

IV.11-rasm.

152

1 - e s l à t m à .  Funksiyaning õ®à dàgi (yoki õ®à  

-

 0, yoki õ®à + 0

dàgi)  limitining  tà’rifidà  õ  ¹  à  qiymàtlàr  qàràldi,  à  nuqtàning  o‘zidà

funksiya àniqlànmàgàn bo‘lishi hàm mumkin.

2 - e s l à t m à .   Funksiyaning  õ®à  dàgi  (yoki  õ®à 

-

  0  dàgi,  yoki

õ®à  +

  0  dàgi)  limitining  tà’rifidà  tà’kidlànàyotgàn  Ì  và  N  sînlàr  e  và

à gà bîg‘liqdir.

Ì à s h q l à r

4.4. Òånglikni isbîtlàng:

1) 

0

lim (3

5) 5

x

x

®

+

= ;     2) 

3

8

lim

2

x

x

®

= ;    3) 

2

1

2

0,25

0,5

lim

1

x

x

x

®

-

-

= ;

4) 

4

4

2

lim

4

x

x

x

®

-

-

= ;    

5) 

2

2

2

5

6

lim

1

x

x

x

x

®

-

- +

= - ;    6) 

1

1

lim

1

x

x

®

= .

4.5. Limitlàrni hisîblàng:

1) 

2

lim (4

5)

x

x

®

-

;

    2) 

2

3

lim

7

x

x

®

+ ;          3) 

2

8

lim

36

x

x

®

+

;

4) 

3

9

lim (

5)

x

x

®

-

;           5) 

2

3

9

3

lim

x

x

x

®

-

-

;                6) 

0

1

2

1

lim

x

x

®

+

.

 3. Funksiyaning nuqtàdàgi limiti hàqidàgi àsîsiy tåîråmàlàr.

Îldingi  bàndlàrdà  funksiyaning  nuqtàdàgi  limiti  tushunchàsini

qàràdik. Bu bànddà funksiyaning nuqtàdàgi limiti hàqidàgi àsîsiy

tåîråmàlàrni  kåltiràmiz  và  limitni  hisîblàsh  màsàlàsi  bilàn

shug‘ullànàmiz.

1 - t å î r å m à .  f (x) funksiya x®a dà ko‘pi bilàn bittà limitgà

egà bo‘lishi mumkin.

2 - t å î r å m à .   Àgàr  lim ( )

x

a

f x

b

®

=   (bÎR)  bo‘lsà,  x  =  a

nuqtàning birîr àtrîfidà  f (x) funksiya chågàràlàngàn bo‘làdi.

3 - t å î r å m à .  Àgàr  lim ( )

x

a

f x

b

®

=  bo‘lib, b ¹ 0 bo‘lsà, x = a

nuqtàning shundày bir àtrîfi tîpilàdiki, bu àtrîfdàgi bàrchà x làr

uchun (x

 = a bundàn mustàsnî bo‘lishi mumkin) f (x) ning ishîràsi

b ning ishîràsi bilàn bir õil bo‘làdi.

153

4 - t å î r å m à .  Àgàr  lim ( )

x

a

f x

b

®

=  bo‘lib, x = a nuqtàning birîr

àtrîfidàgi bàrchà  x ¹ a làr uchun f (x)

 ³ 0 (f (x) £ 0) bo‘lsà, b ³ 0

(mîs ràvishdà, b

 £ 0) bo‘làdi.

5 - t å î r å m à .   Àgàr  x  = a  nuqtàning  birîr  àtrîfidàgi  bàrchà

x ¹ a làrdà j(x)

 £ f (x) £ g(x) bo‘lib,  lim ( ) lim ( )

x

a

x

a

x

g x

b

®

®

j

=

=  bo‘lsà,

lim ( )

x

a

f x

b

®

=   bo‘làdi.

6 - t å î r å m à .  O‘zgàrmàsning limiti o‘zigà tång:   lim

x

a

c

c

®

= .

7 - t å î r å m à .   O‘zgàrmàs  ko‘pàytuvchini  limit  bålgisidàn

tàshqàrigà chiqàrish mumkin:  lim (

( ))

lim ( )

x

a

x

a

k f x

k

f x

®

®

×

= ×

.

8 - t å î r å m à .   Àgàr    f (x),  g  (x)  funksiyalàr  x®a  dà  chåkli

limitgà egà bo‘lsà, f (x) ± g (x), f (x)×g (x) funksiyalàr hàm x®a

dà chåkli limitgà egà và

lim ( ( )

( ))

lim ( ) lim ( ),

lim ( ( )

( ))

lim ( ) lim ( )

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

f x

g x

f x

g x

f x g x

f x

g x

®

®

®

®

®

®

±

=

±

×

=

×

tångliklàr  o‘rinlidir.

9 - t å î r å m à .   Àgàr  f  (x),  g(x)  funksiyalàr  x®a  dà  chåkli

limitgà egà và  lim ( ) 0

x

a

g x

®

¹  bo‘lsà, 

lim

( )

( )

( )

lim ( )

lim

x

a

x

a

x

a

f x

f x

g x

g x

®

®

®

=

 tånglik

o‘rinli bo‘làdi.

Bu tåîråmàlàrning isbîti îliy màtåmàtikà kursidà qàràlàdi.Biz

shu tåîråmàlàrning tàtbiqi yordàmidà limitlàrni hisîblàymiz.

1 - m i s î l .  

2

3

lim (

4

5)

x

x

x

®

+

-

 limitni hisîblàymiz.

Y e c h i s h .  Yuqîridàgi tåîråmàlàrgà àsîsàn

2

2

3

3

3

3

3

3

3

lim (

4

5) lim

lim (4 ) lim 5

lim

lim

4 lim

5 3 3 4 3 5 16.

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

®

®

®

®

®

®

®

+

-

=

+

-

=

=

×

+

- = × + × - =

2 - m i s î l. 

5

7

5

10 2

lim

x

x

x

®

-

+

 limitni hisîblàymiz.

154

Y e c h i s h .  

5

lim (10 2 ) 10 2 5 20 0

x

x

®

+

=

+ × =

¹  bo‘lgàni uchun

9-tåîråmàni båvîsità qo‘llàsh mumkin:

lim (7

5)

5

7

5

7 5 5

30

10 2

lim (10 2 )

10 2 5

20

5

5

lim

1,5

x

x

x

x

x

x

x

-

®

-

× -

+

+

+ ×

®

®

=

=

=

=

.

3 - m i s î l .  

2

4

2

2

lim

x

x

x

-

-

®

 limitni hisîblàymiz.

Y e c h i s h .  

2

2

2

lim (

2) 0,   lim

4 0

x

x

x

x

®

®

-

=

- =   bo‘lgàni  uchun

9-tåîråmàni  båvîsità  qo‘llàsh  mumkin  emàs  (bu  hîldà 

0

0

ko‘rinishdàgi  àniqmàslikkà  egà  bo‘làmiz).  x®2  bo‘lgàni  uchun

x

 ¹ 2 dåb hisîblàsh mumkin. Shu sàbàbli:

2

(

2)(

2)

4

2

2

2

2

2

lim

lim

lim (

2) 4

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+

-

-

-

-

®

®

®

=

=

+

= .

4 - m i s î l .  

3

2

3

3

9

2

2

6

lim

x

x

x

x

x

x

+

-

+

®

- -

 limitni hisîblàymiz.

Y e c h i s h .  Båvîsità limitgà o‘tish nàtijàsidà 

0

0

 ko‘rinishdàgi

àniqmàslik hîsil bo‘làdi. x

 ¹ 2 làr uchun

2

3

2

2

3

2

2

(

2)(

5

1)

3

9

2

5

1

6

(

2)(

2

3)

2

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

-

+

+

+

-

+

+

+

- -

-

+

+

+

+

=

=

tånglik o‘rinli bo‘lgàni sàbàbli

3

2

2

2

3

2

2

3

9

2

5

1

2

5 2 1

4

11

2

2

6

2

3

2

2 2 3

lim

lim

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+

-

+

+

+

+ × +

®

®

- -

+

+

+ × +

=

=

=

.

5 - m i s î l .  

0

1

1

lim

x

x

x

®

+ -

 limitni hisîblàymiz.

Y e c h i s h .  Båvîsità limitgà o‘tsàk, 

0

0

 ko‘rinishdàgi àniqmàs-

likkà egà bo‘làmiz. Àniqmàslikni îchish uchun kàsrning suràt và

màõràjini  1

1 0

x

+ + ¹  gà (màõràjining qo‘shmàsigà) ko‘pàytirib

îlàmiz:

( 1

1)

( 1

1)

1

1

( 1

1)( 1

1)

0

0

0

lim

lim

lim

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+ +

+ +

+ -

+ -

+ +

®

®

®

=

=

=

0

lim ( 1

1) 2

x

x

®

=

+ +

= .

155

6 - m i s î l .  

3

2

2

1 26

3

lim

x

x

x

-

®

+ -

 limitni hisîblàymiz.

Y e c h i s h .  Bu yerdà hàm 

0

0

 ko‘rinishdàgi àniqmàslikni îchish

kåràk.  26 +

 x  = t 

3

  dåb  îlàmiz  (o‘rnigà  qo‘yish  usuli).  x®1  dà

3

26

3

t

x

=

+ ®  bo‘lgàni uchun

3

2

3

2(

26) 2

2( 3)(

3 9)

2

2

3

3

1

3

3

26

3

lim

lim

lim

54

t

t

t

t

x

t

t

x

t

t

x

-

-

-

+ +

-

-

-

®

®

®

+ -

=

=

=

.

1 0 - t å î r å m à .   Àgàr  lim ( ) 0

x a

g x

®

=   và  lim ( )

0

x a

f x

b

®

= ¹

(bÎR) bo‘lib, x

 = a nuqtàning birîr àtrîfidà (x = a nuqtàning o‘zi

bundàn mustàsnî bo‘lishi mumkin) g(x)

 ¹ 0 bo‘lsà, 

( )

( )

lim

f x

g x

x a

®

= ¥

bo‘làdi.

I s b î t .  

lim

( )

( )

0

( )

lim

( )

lim

0

g x

g x

x a

f x

f x

b

x a

x a

®

®

®

=

= =  bo‘lgàni uchun 2-bànd-

dàgi tåîråmàgà ko‘rà, 

( )

( )

lim

f x

g x

x a

®

= ¥  bo‘làdi.

7 - m i s î l .  

3

3

4

2

1 1

lim

x

x

x

+

®

- -

  limitni  hisîblàng.

Y e c h i s h .  

3

2

2

lim (

1 1) 0,   lim (3

4) 10

x

x

x

x

®

®

- -

=

+

=

  bo‘lgàni

uchun 10- tåîråmàgà ko‘rà, 

3

3

4

2

1 1

lim

x

x

x

+

®

- -

= ¥  bo‘làdi. Hisîblàshni

quyidàgichà  ràsmiylàshtirish  mumkin:

3

3

3

4

3 2 4

10

0

2

1 1

2 1 1

lim

x

x

x

+

× +

®

- -

- -

=

=

= ¥ .