«История развития теории дифференциальных уравнений»

Министерство образование Узбекистана
Ургенчский Государственный Университет

Курсовая работа
по курсу: «Дифференциальное уравнение»
Тема: «История развития теории дифференциальных уравнений»


Выполнил: Утамуратов Хакимжон
Проверил: Рузметов Мурад


Ургенч 2021 г
Содержание работы


Введение

1. 
   Исторический очерк
   
   1. 
      История развития теории дифференциальных уравнений
      
2. 
   Основные понятия и определения
   
   1. 
      Обыкновенные дифференциальные уравнения
      
   2. 
      Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка 
      
   3. 
      Дифференциальные уравнения в частных производных
      

Заключение
Список литературы
Введение

1. 
   Исторический очерк
   

^{Настоящий очерк истории теории дифференциальных уравнений} не претендует на полноту. В нём содержатся лишь краткие сведения о возникновении этой математической дисциплины и её развитии за ^{последние два с половиной веха. При этом,} естественным ^{образом,} главное внимание обращено на те вопросы, которые были рассмотрены в предыдущих главах.
С задачами, относящимися к теории дифференциальных уравнений в собственном смысле этого слова, математики встретились на рубеже XVI- XVII вв., впервые, вероятно, в области вычислительной математики, при создании логарифмических таблиц. Стремясь дать определение логарифма, пригодное для непрерывной величины – по существу для всех действительных положительных чисел, Дж. Непер (1550 – 1617) отправным пунктом избрал не сопоставление ^двух дискретных прогрессий – ^{арифметической и геометрической, а} кинематическое представление о двух связанных между собой непрерывных прямолинейных движениях.
^Точа М, выходя из положения О, движется с постоянной скоростью ^{ʋ; точка N, выходя со} скоростью ^{ʋ из положения А на} отрезке AB, равном 10⁷, движется замедленно с переменной скоростью^{, пропорциональной её расстоянию NB} до ^{конца В.} Длина отрезка ОМ и является непаровым логарифмом величины NB. Обозначив ^{ОМ =} y ^{и NB = x, мы можем выразить скорости обеих точек уравнениями}:

а зависимость между числом x и его неправым логарифмом дифференциальным уравнением

Сам Непер ввёл логарифмическую функцию, определяемую этим уравнением только таблично; при этом его приёмы вычисления таблиц логарифмов фактически давали приближённое и интегрирование ^{указанного уравнения.}
Отрезок ^{AB принят был Непером равным 107 потому, что такое значение} давали ^{обычно в те времена синусу прямого угла; при этом} неправы логарифмы синусов первой четверти, приведённые в его таблицах с 8 знаками, представлялись положительными целыми числами.
Задачи, приводящиеся к дифференциальным уравнениям, появлялись и в области математического естествознания, например, в проблеме падения тяжёлого тела в среде без сопротивления, которую решил Г. Галилей (1564 – 1642; в 1638 г.) и в оптике. Открытие закона преломления света позволило Р. Декарту (1596 – 1650) около 1628 г. поставить и решить первую из так называемых ^«обратных ^{задач на} касательные»^{. Речь шла об определении поверхностей} линз вращения, которые преломляют лучи, выходящие из одной дан^{ной точки в другую} данную ^{точку; другими словами, задача состоит} в том, чтобы найти плоскую кривую, для которой синусы углов
Нормали в любой её точку М с прямыми соединяющими точку М с двумя данными точками, находились бы в постоянном отношении. Применив бесконечно малые, Декарт открыл так называемые декартовы овалы, кривые четвёртого порядка, уравнения которых в биполярных координатах пишутся в виде

«Обратная задача на касательные», т. е. задача об определении кривых, касательные к которым обладают заданным свойством, сыграла видную роль в предыстории интегрального исчисления и теории дифференциальных уравнения. Несколько таких задач поставил перед Декартом в 1638 г. Ф. Девон (1601 – 1652); в частности, он поставил задачу об отыскании кривой, подкасательная S_t которой удовлетворяет уравнению

или

^Путём преобразования <sup>координат, соответствующего подстановкам


и


Декарт (говоря</sup> по-современному) ^{свёл последнее} уравнение к виду

т. е. к тоё же задаче, которую решал за четверть века до него Непер. Не располагая понятием логарифмической функции, Декарт дал кинематический приём определения точек искомой кривой как точек пересечения двух движущихся прямых. Он высказал также мнение, что кривая трансцендентная, — по его терминологии — механическая, —а заодно и убеждение, что общего метода решения подобных задач существовать не может. Довольно скоро, однако, решение тех обратных задач на касательные, дифференциальные уравнения которых непосредственно допускают разделение переменных, сведено было к задаче квадратур. Это удалось в 1669 – 1670 гг. И. Бappoy (1630 – 1677), который в геометрической форме показал, ^{что кривая}, ^{подкасательная которой определяется условием}

сама определяется уравнением, которое в наших обозначениях имеет вид

С работ И. Ньютона (1642—1727) и Г. В. Лейбница (1646—1716) начинается первый период истории дифференциальных уравнений, охватывающий ^{последнюю четверть XVII и весь XVIII век. Изучение} проблем динамики точки и твёрдого тела, а также некоторых геометрических задал методами дифференциального и интегрального исчислений вскоре привело к выделению простейших классов обыкновенных уравнений первого и второго порядков.

В первой половине XVIII в. дифференциальные уравнения становятся основным орудием исследования ^{не только в механике,} но и в дифференциальной геометрии и вариационном исчислении. К концу этого времени задачи математической физики, прежде всего задача о колебании струны, облекутся в форму дифференциальных уравнений с частными производными, а во второй половине XVIII п. такие уравнения получают широкое применение и в теории поверхностей.