Аксиоматика евклидового пространства по Погорелову

Аксиоматика евклидового пространства по Погорелову.
Основными понятиями в нашем изложении будут точка, прямая и плоскость, отношение принадлежности для точек, прямых и плоскостей, выражаемое словом «принадлежать», отношение порядка для точек на прямой, выражаемое словами «лежать между», «длина» для отрезков и «градусная мера» для углов. Эти понятия не определяются и все, что о них предполагается известным, выражается аксиомами.
По соображениям удобства изложения мы сначала сформулируем плоские аксиомы. А затем введем группу пространственных аксиом С. Плоские аксиомы естесственно разбиты на группы в соответствии с основными понятиями: принадлежности, порядка и меры.
Аксиомы принадлежности.
Аксиомы принадлежности определяют свойства взаимного расположения точек и прямых.
Если точка принадлежит двум прямым, то мы говорим, что прямые пересекаются в этой точке, или эта точка является точкой пересечения прямых.
Группа аксиом принадлежности включает следующие две аксиомы:
Аксиома  . Каковы бы ни были две точки, существует прямая, проходящая через эти точки, и притом только одна.
Аксиома  . На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существует три точки, не лежащие на одной прямой.
Следствие аксиомы  . Две прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке.
Следствие аксиомы  . Какова бы ни была прямая, существует точка, не лежащая на этой прямой.
Аксиомы порядка.
Аксиомы порядка выражают свойства взаимного расположения точек на прямой и на плоскости. При этом используется отношение взаимного расположения точек на прямой, выражаемое словами «лежать между».
Аксиома  . Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Аксиома  . Прямая разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на два подмножества (полуплоскости) так, что отрезок, соединяющий точки одной полуплоскости, не пересекается с прямой, а отрезок, соединяющий точки разных полуплоскостей, пересекается с прямой.