Аксиоматика евклидового пространства по Погорелову

Следствие аксиомы  . Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекается одну из его сторон, то она пересекает, и притом только одну, из двух других сторон.

Аксиомы меры для отрезков и углов.
Аксиома  . Каждый отрезок имеет определенную длину, большую 0. Если точка С лежит на отрезке АВ, то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС:  .
Аксиома  позволяет ввести координату на прямой, т.е. сопоставить каждой точке прямой вещественное число так, что если  и  - координаты точек А и В, то длина отрезка  .
Аксиома  . Кажый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180˚. Если луч с проходит между сторонами угла (ab), то градусная мера угла (ab) равна сумме градусных мер углов (ac) и (bc).
Отметим следующую теорему:
Если от полупрямой a отложить в одну полуплоскость относительно этой полупрямой и ее продолжения углы (ab) и (aс), то либо луч с проходит между сторонами угла (ab), либо луч b проходит между сторонами угла (aс). В любом случае  .
Аксиома существования треугольника, равного данному.
Аксиома  . Пусть  и а – полупрямая. Тогда существует  , у которого вершина  совпадает с началом луча а, вершина  лежит на луче а, вершина  лежит в заданной полуплоскости относительно прямой, содержащей луч а.
Следствия аксиомы  .
1. На данной полупрямой из ее начальной точки можно отложить отрезок, равный данному отрезку, и притом только один.
2. От данной полупрямой в данную полуплоскость, определяемую этой полупрямой и ее продолжением, можно отложить угол, равный данному углу, и притом только один.
Аксиомы существования отрезка данной длины.
Аксиома  . Каково бы ни было вещественное число d > 0, существует отрезок длиной d.