История появления натуральных чисел и нуля. Теоретико-множественное определение натурального числа и нуля. Теоретико-множественное определение сложения и разности целых неотрицательных чисел. Свойства сложения

Лекция № 8


Тема: Свойства множества целых неотрицательных чисел. Порядковые и количественные натуральные числа. Натуральное число как результат измерения величины. Определение арифметических действий над числами.
План:
1. Множество целых неотрицательных чисел. Свойства множества целых неотрицательных чисел.
2. Понятие отрезка натурального ряда чисел и счета элементов конечного множества. Порядковые и количественные натуральные числа.
Присоединим к множеству N натуральных чисел еще один элемент, который называется нулем и обозначается 0. Полученное множество называется множеством целых неотрицательных чисел и обозначается Zо. Таким образом, Zо = N È {0}.
Относительно числа 0 условимся, что оно меньше любого нату­рального числа, а арифметические операции в случае, когда одна из компонент равна нулю, определяются равенствами:
(" а ÎN) а + 0 = 0 + а = a; (" а ÎN) а - 0 = а;
(" а ÎN) а - 0 = 0 - а = 0; (" а ÎN) 0 : а = 0 .
Кроме того, будем считать, что:
0 + 0 = 0, 0- 0 = 0, 0 – 0 = 0, а – а = 0.
Теорема 28. Деление на нуль невозможно.
Доказательство. Пусть даны целое неотрицательное число а и b = 0.
Рассмотрим случай, когда а ¹ 0, Предположим, что частное такого числа и нуля существует. Тогда, по определению деления, найдется такое целое неотрицательное число c, что а – с = 0, откуда а = 0. Пришли к противоречию с условием, значит, частное чисел а ¹ 0 и b = 0 не су­ществует.
Пусть теперь а = 0. Предположим опять, что частное а = 0 и b = 0 существуют, и тогда найдется такое целое неотрицательное число с, что выполняется равенство 0 = с × 0, истинное при любых значениях с.
Таким образом, частным чисел а = 0 и b = 0 может быть любое целое неотрицательное число, т.е. результат деления определяется не единственным образом. Поэтому в математике считают, что деление нуля на нуль также невозможно.
Рассматривая деление на множестве целых неотрицательных чисел, мы имеем в виду деление нацело, т.е. такое, при котором частное является также целым неотрицательным числом. Но такое частное существует не всегда. Например, нельзя разделить на 9 число 31. Но существуют числа 3 и 4 такие, что 31 =9×3+4. Говорят, что мы разделили число 31 на 9 с остатком 4, а число 3 называют неполным частным. В общем случае деление с остатком определяют так.