Исследование Влияния Параметрических Расстроек На Точность Марковского Алгоритма Оценки Временных Положений Импульсов

Лемма 2.1. Пусть - решение задачи (3) для Тогда
(5)
(6)
(7)
где зависит только от данных.
Доказательство. По принципу максимума получаем, что в , в . Из леммы Хопфа следует, что для всех . Тогда из условия Стефана следует, что .
Мы построим пространственно однородное решение задачи(3). Будем искать в виде

Мы находим, что
(8)


_{Перепишем (8) как}

Обозначая , имеем

Отсюда следует, что
Получаем, что
По принципу сравнения имеем при ; .Тогда выводим, что
Аналогично имеем . Чтобы получить верхнюю оценку для , введем новую функцию
(9)
где - положительная константа и .
Мы находим, что
(10)
Используя принцип максимума из задачи (10), получаем
Тогда (9) означает, что
Следовательно, или и
Лемма 3.1.1 доказана.
В новых переменных , область соответствует область , где .
При этом функции , являются решением задачи
(11)
(12)
где ,
.
Условия для неизвестных границ примет вид

Для всех уравнений в задачах (11) и (12) выполняются условие параболичности и условие подчинения младших членов (см.[13]), которые позволяют непосредственно применят результаты работы [11, 13].
Теорему сформулируем для функции .
Теорема 2.2. Пусть выполнены все предположения лемма 2.1. Пусть непрерывная в функция удовлетворяет условиям задачи (12). Предположим, что непрерывные функции , для , и произвольных удовлетворяют условиям

Тогда
₍₁₃₎
Кроме того, если в области , то И если еще известно, что обладает в суммируемыми с квадратом обобщенными производными , , то
₍₁₄₎
где .
Если , то оценки (13), (14) справедливы и в .
Доказательство. Внутренние оценки в области устанавливаются, как и в [5].
Так как все коэффициенты в задаче ограничены, то, используя результаты работы [5], получим оценку (14).
Задача (12) при помощи замены
сводится к однородному случаю. Тогда задачу (16) можно переписать в виде
₍₁₅₎

и из задачи (15), в силу леммы 2.1. находим Следовательно,
₍₁₆₎
Из (16) следуют, что .
Теорема 2.2 доказана.
Теорема 2.3. Пусть коэффициенты уравнения
(18)
удовлетворяет условию Гeльдера

Пусть решение уравнения (18), , . Тогда
,
где зависит от
Если , то существует такое , что

Аналогичные результаты справедливы и для
IV. Единственность решения.
Сначала выведем интегральное выражение для свободной границы. Для этого перепишем первое уравнение (3.1.2) в виде
(19)
где .
Интегрируем (19) по D

И находим
(3.1.13)
где