Isoblash matematikasi

2.2.Integral tenglamalarni yechish usullari. Momentlar usuli

Chekli yig‘indilar usuli

Ushbu usul aniq integralni kvadratura formulasi yordamida taqribiy yechishga asoslanadi, ya‟ni aniq integralni quyidagicha ifodalaymiz:

bu yerda segmentdagi nuqtalar; funksiyaning tanlanishidan bog„liq bo„lmagan sonli koeffitsiyentlar va (7.1) formulaning qoldiq hadi. Odatda sonli koeffitsiyentlarni quydagicha tanlanadi:
va

Masalan:

Bo`lsa, sonli koeffitsiyentlar uchun quyidagilar o`rinli:

1. To`g`ri to`rtburchak formulasi uchun:

, ,
2. Trapetsiya umumiy formulasi uchun:


3. bo`lgandagi barcha turdagi Simpson formulasi uchun:

Endi berilgan ikkinchi tur Fredgolm integral tenglamasi

ni yechish maqsadida da nuqtalarni va ushbu

, ,

belgilashlarni kiritamiz. U holda, yuqoridagi formulaga asosan, ushbu

,

tenglamalarni hosil qilamiz, bunda - kvadratur, yechim va

,

Ui taqribiy yechim orasidagi hatolik. sistemada miqdorni tashlab, ushbu chiziqli algebrik sistemani hosil qilamiz. Ushbu

Kroneker belgisini kiritsak quyudagi tenglik o`rinli bo`ladi:

Bu yerda sistemani quydagicha yozish munkin:

,

Agar , tenglik bajarilsa, yagona yechimga ega bo`ladi.

Bu yechimlarni Gauss yoki biror usul bilan topish qiyinchilik tug„dirmaydi. Tenglamaning yechimi uchuntaqribiy analitik ifodasini hosil qilamiz:



algebraik tenglamaning turli ildizlari bo`lgan , sonlar, umuman olganda yadroning taqribiy xos qiymatlarini ifodalaydi.

Agar - orqali

,

bir jinsli tenglamalar sistemasining noldan farqli yechimlarini belgilasak, u holda yadroning tarqibiy xos funksiyalari uchun ushbu ifoda aniqlanadi. Chekli yig„indilar usulini birinchi tur Fredgolm integral tenglamasi

uchun ham qo`llasa bo`ladi. Bu holda yechimning nuqtalardagi taqribiy qiymatlari quyidagi sistema yordamida Ikkinchi tur Volter integral tenglamasi uchun chekli yid`indilar usulini qo`llash juda oddiydir. Buning uchun tenglamani ikkinchi tur Fredgolm integral tenglamasi sifatida qaraymiz. ya`ni uchburchak matritsali tenglamalar sistemasini hosil qilamiz

Ikkinchi tur Volter integral tenglamasini chekli yig`indilar usuli bilan yechishning blok-sxemasi.

Ikkinchi tur Volter integral tenglamasini chekli yig`indilar usuli bilan yechishning blok-sxemasi.

Agar 1 Ai Kii  0 i 1,2,...,n, (7.10)

tenglik bajarilsa, u holda (7.9) sistemadan ketma-ket Ui sonlarni quyidagicha topamiz:

Eslatib o`tish joizki, berilgan da (7.10) shartni bajarish uchun Aj sonli koeffitsiyentlarni yetarlicha kichik qilib olamiz.

Kollokatsiya usuli

Quyidagi integral tenglamani qaraymiz

Bu tenglamani taqribiy yechimini erkin parametrli (noma`lum koeffitsiyentlar) aniq

c1,c2,...,cn Un  (x,c1,c2,...,cn) funksiya ko`rinishida izlaymiz. (7.12) ifodani tenglamaga qo`yib, ushbu tafovutni hosil qilamiz. Agar u(x) (7.11) ni aniq yechimi bo„lsa, tafovut nolga teng bo„ladi: Ru=0. Shuning uchun, c1,c2,...,cn parametrlarni 93 shunday tanlash kerakki, ma‟lum darajada RUn tafovut kichik bo„lsin. RUn tafovutni turli usullar bilan minimallashtirish mumkin. Odatda hisoblashlar sodda bo„lishligi maqsadida, Un ni c1,c2,...,cn koeffitsiyentlarning chiziqli kombinatsiyasi ko„rinishida izlanadi. Keyin c1,c2,...,cn sonlarni topib (7.12) taqribiy yechim hosil qilinadi. Shuni ta‟kidlash lozimki, agar RUn tafovut kichik bo„lsa u aniq u(x) yechimni beruvchi Ru tafovutga yaqin bo„ladi. Lekin har bir RUn va Ru operatorlar yaqin qiymatlarni qabul qilishidan, umuman olganda, Un va u yechimlarning odatdagi ma‟nodagi yaqin bo„lishligi kelib chiqmaydi (masalan, Un ni u ga tekis yaqinlashishi). Shuning uchun, matematik xatoliklar kelib chiqadi: berilgan RUn tafovutga ko„ra Un

taqribiy yechimning u Un xatoligini (chetlanishini) aniqlash muommasi paydo bo`ladi. Shuningdek, Un taqribiy yechimning u yechimga yaqinlashish masalasi, ya‟ni ushbu munosabat o`rinli bo`ladigan shartni aniqlash muommosi ham mavjud bo`ladi. Bu muammolar funksional analizning mukammal teoremalariga asoslanganligi tufayli biz ularni tahlil qilib o„tmaymiz. Agar (7.14) munosabat o„rinli bo„lsa, u holda bu usul bilan u yechimni c1,c2,...,cn parametrlar sonini yetarli darajada ko„paytirib ixtiyoriy aniqlikda topish mumkin. 0(x),1(x),...,n(x) c1,c2,...,cn koeffitsiyentlar.

Xususiy holda 0(x)  0 deb olish ham mumkin. Ifodani tenglamaning chap tomoniga qo„yib, ushbu Kollokatsiya usuliga asosan, RUn(x) tafovut [a,b] segmentda berilgan xj j 1,2,...,n nuqtalarda (kollakatsiya nuqtalarida) nolga aylanish shartini qo„yamiz, ya‟ni a  x1  x2 Bu yerdan, ( formulaga ko„ra, c1,c2,...,cn koeffitsiyentlarni aniqlash uchun quyidagi chiziqli algebraic tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: Agar (7.18) sistemaning determinanti noldan farqli D()  deti (x j ,) 0 bo`lsa, (7.18) sistema yagona c1,c2,...,cn yechimga ega bo„ladi. O`z navbatida (7.15) formula bilan aniqlangan Un(x) taqribiy yechim topiladi. D() determinantni nolga tenglashtirib, D()  0 tenglamadan, umuman olganda K(x,t) yadro xos qiymatlarining dastlabki taqribiy qiymatlari ~k , k 1,2,...,n ni topish mumkin bo„ladi. Agar bir jinsli sistema paydo bo„ladi. (7.19) sistemani c~i(k ) i 1,2,...,n noldan farqli yechimlarini topib, K(x,t) yadroning   ~k xos sonlariga mos taqribiy xos finksiyalarini topamiz

Momentlar usuli

Tafovut ushbu

Ko`rinishda bo`lsin. Yuqoridagiga o`xshash tenglamaning taqribiy yechimini chekli yig`indi

Ko`rinishda izlaymiz. Bunda 1x,2x,...,nxchiziqli bog`lanmagan berilgan funksiyalar (koordinat funksiyalar) va c1,c2,...cn aniqmas koeffitsiyentlar ifodani qo`yib, ushbu

tafovutga ega bo`lamiz. Momentlar usuliga ko`ra ci (i 1,2,...,n) koeffitsyientlar tafovutning barcha koordinat funksiyalariga ortogonallik shartidan aniqlanadi, yani koeffitsiyentlar

RUn1x,2x,...,nxci

tenglamalar sistemasi orqali topiladi. Bu sistemaga asosan

Ko`rinishga keladi. Bu erda

Agar sistemaning determinant Ddetij ij 100 noldan farqli bo„lsa, (7.34) sistemadan c1,c2,...,cn koeffitsiyentlar bir qiymatli topiladi. O„z navbatida (7.32) formula orqali aniqlangan Un funksiya (7.31) tenglamaning taqribiy yechimi bo`ladi. D0 algebraik tenglamadan Kx,tyadroning 1,,n taqribiy xos qiymatlari topiladi. Keyin

bir jinsli chiziqli sistemani yechib, Kx,tning k ga mos u~kxtaqribiy xos funksiyalari topiladi. Eslatib o`tish joizki, momentlar usuli g`oyasi Galyerkin usuli g`oyasi bilan bir xildir. Momentlar usuli Kx,tyadroni K nx,taynigan yadro bilan almashtirish metodiga teng kuchli bo„ladi. Shuning uchun Unxtaqribiy yechim uchun 7.1-bandda keltirilgandek xatoliklarni baholashga ega bo`lamiz.