Isoblash matematikasi

II. INTEGRAL (FREDGOLM) TENGLAMALARNI YECHISH USULLARI

2.1.Fredgolm integral tenglamalarini yechish

Integral tenglamalarni yechishning eng umumiy usullaridan biri ketma-ket yaqinlashsh usuli yoki funksional qator yordami bilan yechish usulidir. Shunday qilib, ushbu

tenglama berilgan bo`lib, bu yerda ozod had kesmada noldan farqli uzluksiz funksiya; yadro sohada noldan farqli uzluksiz funksiya; lar esa o`zgarmas haqiqiy sonlar deb faraz qilinadi . Berilgan tenglamaning yechimini quyidagi qator shaklida izlaymiz :

bundagi lar nomalum funksiyalar. Ularni shunday tanlab olish kerakki, natijada qator integral tenglamaning yechimi bo`lsin. Ana shu maqsadda, ni tenglamaning yechimi deb hisoblab, tenglamaga qo`yamiz:

Biz funksional qatorni biror intervalda tekis yaqinlashuvchi deb faraz qilamiz, shu sababli uni hadlab integrallash mumkin. Bu ayniyatni ikki tomonidagi birxil darajali larning koeffitsiyentlari teng bo`ladi, yani

,

,

,

…………………

Endi bu ifodani yuqoridan boshlab birin-ketin o„zidan keyingisiga qo`yib chiqamiz, natijada quyidagi ifoda hosil bo`ladi:

Mana shu ifodalar yordamida qatorni ushbu

Ko’rinishida yozilishi mumkin. Bu cheksiz qatorning umumiy hadini toping

Bo`ladi. Yuqoridagi keltirilgan shartga ko`ra, kesmada hamda sohada . Bu yerdagi va o`zgarmas haqiqiy sonlardir. Shunga asosan ushbu

tengsizlik hosil bo`ladi. Malumki, o`ng tomondagi ifoda cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning, ya`ni yaqinlashuvchi qatorning umumiy hadi bo`lishi uchun

,

Bo`lishi shart. Shundagina qator intervalda absolyut va tekis yaqinlashuvchi qator bo`ladi. Biz hozircha qator tenglamaning yechimi ekanligini ko`rsatdik.

Endi undan boshqa yechimi yo`qligini ko`rsatamiz. Buning uchun aksincha faraz qilamiz, yani tenglamaning yana bitta uzluksiz yechimi bor deb faraz qilamiz. U holda

Buni ayiramiz

deb belgilab olaylik. U holda yuqoridagi tenglikni

Ko`rinishida yozish mumkin. Malumki, ayirma kesmada uzluksiz bo`lgani uchun chegaralangan bo`ladi, yani . Bundan foydalanib, tenglikdan quyidagi tengsizlikni hosil qilamiz:

Buni yuqoridagilarga qo’yish natijasida

Hosil bo’ladi.Umuman, shu jarayonni martta takrorlasak,

hosil bo’ladi.

bo`lgani uchun, cheksizlikka intilganda, ifodaning o`ng tomoni nolga intiladi. Shu sababli , yani bo„ladi. Demak ikkala yechim aslida bitta ekan. Shunday qilib, quyidagi teorema isbot qilindi.

Teorema. Agar funksiya kesmada noldan farqli, uzluksiz bo‘lib, ushbu

tengsizlik bajarilsa, u holda

tenglama kesmada absolyut va tekis yaqinlashuvchi qatordan iborat faqat birgina yechimga ega bo‘ladi. Misollar yechishda larning ifodalarini formulalar yordamida topib, so`ngra ularni qatorga qo„yib chiqish ishni osonlashtiradi.