Iqtisodiy matematik usullar va modellar

Mavzu. Iqtisodiy jarayonlarda optimallashtirish usullarini qo’llash.
Iqtisodiy masalalarni tuzilgan modelini grafik va simpleks usulda yechilishini ko’rib chiqamiz/
Misol: z=4x₁+6x₂ funktsiyaning

3х₁+х₂≥9

х₁+2х₂≥8
х₁+6х₂≥12
х₁≥0 ,х₂≥0
cheklanishlar sistemasini qanoatlantiradigan minimum qiymati topilsin.
L₁:3х₁+х₂=9
L₂:х₁+х₂=8
L₃:х₁+6х₂=12, х₁ =0, х₂=0 chegaraviy to’g’ri chiziqlarni yasaymiz.

X₂



A

B



C



D x₁

Rasm-7
Bu ko`pburchak yo’qoridan chegaralanmagan. Ko’pburchakning uchki nuqtalari A,B,C,D nuqtalarda joylashgan. 4x₁+6x₂=0 to’g’ri chiziq B nuqtada chegaralanmagan ko’pburchakka tayanch to’g’ri chizig’idir.N(4,6) vektor ushbu to’g’ri chiziqqa normal vektor bo’lib,tug’ri chiziqqa perpendikulyar joylashgan. B nuqta esa L₁ va L₂ tug’ri chiziqlarning kesishish nuqtasidir,uning koordinatalari tug’ri chiziqlarning tenglamalaridan iborat sistemani yechib topiladi.

3х₁+х₂=9
х₁+2х₂=3
х₁=2,х₂=3
В(2,3) nuqtada funktsiya minimum qiymatga erishar ekan
Z_min=4*2+6*3=26
Misol2.Ushbu
х₁+х₂-2х₅=1
х₂-2х₄+х₅=2 (1)
х₃+3х₄+х₅=3
sistemaningmanfiybol’maganyechimlariorasidan
Z=0+х₄-х₅ (2) funktsiyagaminimumqiymatberuvchiyechiminitoping.
Yechish. Jadval tuzish uchun (1) va (2) ni

x₁+x₄-2x₅=1

x₂-2x₄+x₅=2
x₃+3x₄+x₅=3
z-x₄+x₅=0 korinishda yozib olamiz.
(1) sistemani x₁,x₂,x₃ ga nisbatan osongina yechish mumkin. Shuning uchun bu noma‘lumlarni sistemaning bazis noma‘lumlari deb qabo’l qilamiz.
Bazis noma‘lumlar x₁,x₁,x₂ va z larni jadvalning 1 chi ustuniga, ozod xadlarni 2 chi ustuniga, x₁ ning koeffitsientlarini 3 chi ustunga va x₀,x₅ ning koeffitsientlarini oxirgi ustunga yozib quyidagi 1 jadvalga ega bol’amiz.

Bazis noma‘lum.	Erkli noma‘lumlar		Ozod xadlar
	-X4	-x5
X1	1	-2	1
X2	-2	1	2
X3	3	1	3
Z	-1	1	0

Minimumni (maksimumni) topish talab etilayotganligi uchun Z satrdagi musbat (manfiy) koeffitsientlardan absolyut qiymat jixatidan eng kattasini tanlab olamiz. Bizning misolimizda x₅ ustundagi 1 soni bol’adi. Ozod xadlar ustunidagi koeffitsientlari shu ustundagi mos musbat koeffitsientlar bol’gan nisbatini eng kichigini tanlab olamiz.

min { 2/1;3/1} =2
Shu ustunni xal qiluvchi ustun qilib olamiz. Xal qiluvchi ustun va satr kesishmasida turgan element bosh element deyiladi. Keyingi jadval quyidagi tartibda tuldiriladi.
1) х₂ va х₅ larning urni almashtirib yoziladi.
2) Bosh element o’ziga teskari miqdor bilan almashtiriladi.
3) Xal qiluvchi ustun bosh elementga bu’linib teskari ishora bilan yo’ziladi.
4) Xal qiluvchi satr elementlari bosh elementga bol’ib yoziladi.

5) Qolgan barcha elementlar to’rtburchak formulasi bilan topiladi.

2 - jadval.

Bazis noma‘lumlar	Erkli noma‘lumlar		Ozod xadlar
	-x4	-x2
X1	-3	2	5
X5	-2	1	2
X3	5	-1	1
Z	1	-1	-2

Z satrdagi barcha koeffitsientlar manfiy (musbat) chiqsa optimal yechim topilgan bu’ladi, ammo jadvalning bu satrida 1 musbat koeffitsient bor.

min {1/5} =1/5

3 - jadval.

Bazis noma‘lumlar	Erkli noma‘lumlar		Ozod xadlar
	-x3	-x2
X1	-0,6	2,6	4,4
X5	0,4	0,6	2,4
X4	0,2	-0,2	0,2
Z	0,2	0,8	-2,2

Bu jadvalda optimal reja topildi. х₁=4,4, х₅=2,4, х₄=0,2, х₃=х₂=0 da

Z_min= -2,2 bu’ladi.
Сhiziqli dasturlashtirish masalalarini ecishda “Поиск решения” ustqurmasidan foydalanish.

Коrхоnаdа mаvjud 3-turdаgi хоm аshyodаn А,V mахsulоtlаr ishlаb chiqаrish mumкin.Bir birliк mахsulоtni ishlаb chiqаrish uchun sаrf bo’lаdigаn хоm аshyo miqdоri vа mахsulоt nаrхi quyidаgi jаdvаldа bеrilgаn.

	А	V
I II III	10 5 6	8 10 12
Fоydа	14	18

I-tur хоm ashyo miqdori 168 birliк,

II-tur хоm ashyo miqdori 180 birliк,
III-tur хоm ashyo miqdori 144 birliк bo’lsа, хоm ashyodаn fоydаlаnib mахsulоt ishlаb chiqаrishning shundаy rеjаsini tuzingкi оlinаdigаn fоydа eng кo’p bo’lsin.

Z=14х₁+18х₂ funksiyaning

sistеmаni qаnоаtlаntirаdigаn maksimal qiymati topilsin.Exsel oynasini ochib cheklanishlar sistemasi va maqsad funksiya koefitsientlarini kiritamiz, sungra C8 katagiga =A1*$B$9+B1*$B$10-C1 formulani kiritamiz.Shuningdek C9,C10,C11 kataklarga ham mos ravishda =A2*$B$9+B2*$B$10-C2, =A3*$B$9+B3*$B$10-C3, =A4*$B$9+B4*$B$10-C4 formulalarni kiritamiz.

Kursorni C8 katakka qo’yib «Сервис» dan “Поиск решения” ga kiramiz va quyidagi muloqt oynasi chiqadi

«Максимальному значению» ni belgilaymiz.Изменяя ячейки ga $B$9:$B$10 ni kiritamiz.
«Добавить» tugmasini bossak ushbu muloqot oynasi chiqadi


Bu oyna yordamida kerakli shartlarni kiritib olamiz
.

«Выполнить» tugmasini bossak masalaning echimi quyidagicha hosil bo’ladi

X₁ =12,x₂ =6, z_max=276