International research journal

Задача 1. 
Какое из чисел больше: 
(2019 + 20
19
)
или 
19
20
? 
Решение задачи 1.
Приведем два возможных способа 
доказательства:
1 способ.
Оценим значение числа, используя бином Ньютона: 
20
19
= (19 + 1)
19
= 19
19
+
+ {19 ∙ 19
18
+ (19 ∙
18
2
) ∙ 19
17
+ ⋯ + (19 ∙ 18 ∙ … ∙
3
17!
) × 19
2
} + 
+ 
19
∙ 19 + 1 < 19
19
+
+ {19 ∙ 19
18
+ (19 ∙ 18) ∙ 19
17
+ ⋯ + (19 ∙ 18 ∙ … 3) × 19
2
} +
+361 + 1 < 19
19
+ 17 ∙ 19
19
+ 361 + 1 = 18 ∙ 19
19
+ 362
В фигурных скобках имеем 17 слагаемых, каждое из них меньше 
19
19
. 
2019
+20
19
< 18 ∙ 19
19
+ 362 + 2019 =
= 18 ∙ 19
19
+ 2381 < 18 ∙ 19
19
+ 19
19
= 19
20

---

Международный научно-исследовательский журнал 
▪
 № 5 (95) ▪ Часть 3 ▪ Май 
119 
2 способ.
Разделим оба числа на 
19
19
. Оценим значение числа: 
2019
19
19
+ (1 +
1
19
)
19
< 1 + ((1 +
1
19
)
2
)
9
(1 +
1
19
) <
< 1 + (1 +
1
9
)
9
(1 +
1
19
) < 1 + (1 +
1
9
)
10
< 1 + ((1 +
1
9
)
2
)
5
<
< 1 + (1 +
1
4
)
5
< 1 + 1,6
2
∙ 1,6 < 1 + 3 ∙ 1,6 < 7 < 19
Таким образом, доказали, что 2019+
20
19
< 19
20
.
Ответ:
второе число больше. 
Критерии оценки задачи 1. 
Общая идея решения заключается в том, что значение числа 
20
19
значительно меньше 
значения числа 
19
20
, поэтому добавление числа 2019 не меняет отношения.
При проверке все вычисления должны выполнятся не с округлением чисел, а с их оцениванием в нужную сторону. 
- Верный ответ без вычислений и доказательства оценивается в 1 балл. 
- Верный ответ с неполным доказательством, но правильными вычислениями оценивается по усмотрению жюри до 
5 баллов. 
- Верное полное доказательство задачи оценивается в 10 баллов. 
Задача 2. А)
Сколько существует пятизначных чисел, цифры которых могут быть только 2, 1 или 0 (например, 
20000, 12222, 20100)?
Б)
Найдите сумму этих чисел. 
Решение задачи 2
 
А: 1 способ.
У таких пятизначных чисел на левой позиции стоит 1 или 2. На каждой из оставшихся 
четырех позициях стоит любая из трех допустимых цифр. Следовательно, общее количество этих пятизначных чисел 
равно:
𝑋 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 162
.
 
2 способ.
Применим троичную систему счисления.
Наименьшее допустимое число 
1000
3
= 1 ∙ 3
4
= 81.
Наибольшее допустимое число 
22222
3
= 2 ∙ 3
4
+ 2 ∙ 3
3
+ 2 ∙ 3
2
+ 2 ∙ 3
1
+ 2 = 242
Общее количество 242-81+1=162 (здесь возможно ошибиться на 1).
Ответ:
162. 
Решение задачи 2
 
Б
. 
На позиции единиц этих допустимых цифр поровну по 54. Их сумма равна 
𝑆
1
= 2 ∙ 54 + 1 ∙
54 + 0 ∙ 54 = 162.
Суммы 
𝑆
2
, 𝑆
3
, 𝑆
4
на позициях десятков, сотен и тысяч будут соответственно 
𝑆
2
= 1620,
𝑆
3
= 16200,
𝑆
4
=
162000. 
На позиции десятков тысяч цифр 2 и 1 поровну, по 81. Их сумма равна 
𝑆
5
= 2 ∙ 81 ∙ 10000 + 1 ∙ 81 ∙ 10000 = 2430000
Сумма всех этих пятизначных чисел составит: 
𝑆 = 𝑆
1
+ 𝑆
2
+ 𝑆
3
+ 𝑆
4
+ 𝑆
5
= 2 609 982
.