Информатика

10.7-rasm. Matrix

o`zlashtirish va to`g`ridan to`g`ri ular bilan amallarni bajarish mumkin.

10.8-rasm. Vektor va matritsalar bilan ishlash

Odatda vektor yoki matritsani shakllantirish uchun [ctrl]+[m] tugmasi bosiladi(-rasm). Bu rasmda [Rows] qatorlar soni, [Columns] ustunlar sonidir, [ok] tugmasi bilan o`rnatiladi, [Insert] tugmasi bilan qo`shiladi, [Delete]

10.9-rasm. Insert

tugmasi bilan o`chiriladi, [Cancel] tugmasi bilan bekor qilinadi.

Mathcaddagi vektor va matritsa orqali quyida jadvalga keltirilgan amallarni bajarish mumkin.

10.7-rasm. Mathcad matematik amallar

Amal	Yozilish	tugma	Vazifasi
Matritsani songa ko‘paytirish	A•n	*	A ning har bir elementini n ga ko‘paytiradi
Skalyar ko‘paytma	u•v	*	u va v ning uzunligi teng
Matritsali ko‘paytma	A•B	*	A ustunlar soni B qatorlar soniga teng
Matritsani vektorga ko‘paytirish	A•v	*	A ustunlar soni v ning satrlar soniga teng bo‘lishi kerak
Matritsani songa bo‘lish	A n	/	Har bir massiv elementi n ga bo‘linadi
Vektor va matritsaning yig‘indisi va ayirmasi	A+B, u+v A-B, u-v	+ -	Massivlar bir xil satr va bir xil ustunga ega bo‘lishi kerak
Skalyar yig‘indi	A+n	+	A ning har bir qiymatiga n qo‘shiladi
Skalyar ayirma	A-n	-	A ning har bir qiymatidan n ayiriladi
Ishorani almashtirish	-A	-	A ni –1 ga ko‘paytiradi
Matritsa darajasi	Mn	^	n-darajali kvadrat matritsa M^-1 , M ga teskari matritsa
Vektor uzunligi	|v|	Shift+\	Vektor uzunlikni hisoblaydi
Determinant	|M|	Shift+\	Determinantni hisoblaydi
Transponirlash	AT	Ctrl+1	Satr elementlarini ustun elementlariga almashtiradi
Vektor ko‘paytma	Uxv	Ctrl+8	u va v lar uchun ko‘paytmani hisoblaydi.
Yuqori daraja	A	Ctrl+6	Matritsaning n – ustuni

10.10-rasm. Vektor va matritsalar ustida amallar bajarish

Mathcadda vektor va matritsalarning ba`zi xususiyatlarini aniqlash va ulardan foydalanish mumkin.

10.8-jadval. Funksiyalar

Funksiya nomi	Hosil bo‘ladi
rows(A)	satrlar soni
cols(A)	ustunlar soni
length(V)	vektorning elementlar soni
last(V)	vektor elementining oxirgi indeksi
max(A)	massivning eng katta elementi
min(A)	massivning eng kichik elementi
identity(n)	nxn birlik matritsa
Re(A)	Kompleks matritsa elementining aniq qismiga tegishli massiv
Im(A)	Kompleks matritsaning mavhum qismiga tegishli massiv
diag(v)	Vektorni matritsa diagonalida joylashtiradi
geninv(A)	Teskari matritsa
rref(A)	A matritsani bosqichli formasi
augment(A,B)	ketma-ket joylashtiradi. A va B ning satr elementlari teng bo‘lishi kerak.
stack(A,B)	tagma-tag joylashtiradi. A va B ning ustun elementlari teng bo‘lishi kerak.

Funksiya nomi	Hosil bo‘ladi
Submatrix(A,m,n,i,j)	A-matritsaning m…n satr va i…j ustun elementlaridan iborat.
sort(V)	V- vektor elementlarini o‘sib borish tartibida joylashtirish.
reverse(V)	V- vektor elementlarini kamayib borish tartibida joylashtirish.
csort(M,n)	M-matritsa n-qator elementlarini saralsh
rsort(M,n)	M-matritsa n- ustun elementlarini saralash

10.11-rasm. vektor va matritsalarning ba`zi xususiyatlarini aniqlash

10.9-jadval. Vektor va matritsalar bilan ishlash uchun funksiyalar ro`yxati

Funksiya nomi	vazifasi
tr(M)	M-kvadrat matritsa diagonal elementlari yig‘indisi
mean(T)	T-massiv elementlari o‘rta arifmetigi.
rank(A)	A matritsaning rangi
norm1(M)	M matritsaning L1 normasi
norm2(M)	M matritsaning L2 normasi
norme(M)	M matritsaning Evklid normasi
normi(M)	M matritsaning teng o‘lchovli normasi
cond1(M)	M matritsa shartli soni L1 normaga asosli
cond2(M)	M matritsa shartli soni L2 normaga asosli
conde(M)	M matritsa shartli soni Evklid normaga asosli

Funksiya nomi	vazifasi
cond(iM)	M matritsa shartli soni teng o‘lchovli normaga asosli

Vektor va matritsalarda o`zgaruvchi va funksiyalardan ham foydalanish mumkin.



10.12-rasm. O`zgaruvchi va funksiyalar.

Umuman olganda Mathcadda vektor va matritsalar ustida ixtiyoriy amallarni bajarish mumkin. Mathcadda chiziqli va chiziqsiz tenglamalar sistemalarini yechishda Mathcaddan foydalanish oson va qulay.

 Mustahkamlash uchun savollar.

1. 
   Local o`zgaruvchi nima ?
   
2. 
   Global o`zgaruvchining imkoniyatlari haqida nimalarni bilasiz?
   
3. 
   Funksiya qanday e`lon qilinadi ?
   
4. 
   Funksiya qiymatlarini hisoblashda misollar keltiring ?
   
5. 
   Vektor qanday aniqlanadi ?
   
6. 
   Teskari matritsani aniqlash usulini ayting.
   
7. 
   Insert matrix muloqot oynasi qanday vazifalarni amalga oshiradi ?
   
8. 
   ORIGIN≡1 nimani anglatadi ?
   
9. 
   Vektor va matritsalar bilan ishlovchi funksiyalarga misol keltiring? 10.Matritsada o`zgaruvchi va funksiyalardan foydalanish mumkinmi ?
   

5. Grafik yaratish

 Muhim so`zlar: grafik, dekart, polyar, 3D, sohali, konturli, 3D point, vektorli grafiklar, funksiya,FRAME, animatsiya, video, bmp, PRN.

 Bilib olasiz: grafiklarni dekart, polyar, 3D, sohali, konturli, 3D point, vektorli koordinatalarda yaratish va tahrirlashlar, funksiyalarning FRAME yordamida animatsiya va videolarni yaratish, bmp, PRN tipli rasmlarni qayta ishlash va raqamli rasmlarni hosil qilishni.

Mathcadda grafik chizish uchun [Math]->[Graph] asboblar panelidan foydalaniladi.

10.10-jadval. Grafik turlari

Nomi	belgisi	tugma	vazifasi
X-Y Plot		[Shift]+[2]	Dekart koordinatasi
Polar Plot		[Ctrl]+[7]	Polyar koordinata
3D Bar			3 o`lchovli diagramma
Surface Plot		[Ctrl]+[2]	Sohali grafik
Contour Plot		[Ctrl]+[5]	Kontur grafik
3D Scatter Plot			3 o`lchovli nuqtali grafik
Vektor Field			Vektorli grafik

Mathcadda dekart koordinatada grafik chizishga bir misol bilan keltiramiz. Faraz qilamiz [-10,10] oraliqda f(x) funksiyaning grafigini chizish talab etilgan bo`lsin. Buning uchun i o`zgaruvchiga -10 dan 10 gacha qiymat beramiz, f(x) funksiyaga biror funksiya (masalan, cos(x)) ni yozamiz. So`ng [Shift]+[2] tugmasini bosib, dekart



10.13-rasm. Cos(x) grafigi

koordinatani hosil qilamiz. X o`qida I o`zgaruvchini, Y o`qiga f(i) yozuvini kiritamiz va funksiyaning grafigi hosil bo`ladi.

Mathcadda bitta dekart koordinataga bir nechta funksiyaning grafigini ham chizish mumkin. Faraz qilaylik [a,b] oraliqda f(x), g(x) funksiyalarning grafigi n ta tugun nuqta orqali chizish talab qilingan bo`lsin. Buning uchun a ga quyi chegarani (a=-5), b ga yuqori chegarani (b=100) o`zlashtiramiz. F(x) va g(x) funksiyalarni kiritamiz va x ning qiymatlarini aniqlaymiz. X ning qiymatlarini aniqlash uchun

[a,b] oraliqni n bo`lakka bo`lamiz va uni h bilan belgilaymiz (x_i=a+h*i). Bunga I ning qiymatlari 0 dan n gacha o`zgaradi. So`ng [Math] [Graph] asboblar panelidan [x-y plot] ni tanlaymiz va x o`qiga x<sub>i</sub> yozuvini kiritamiz, y o`qiga f(x), g(x) funksiyalarni kiritamiz.



10.14-rasm. Cos(x) va sin(x) grafigi

Mathcadda tenglamalar sistemasining yechimlarini grafik ko`rinishda topish uchun ham qulaydir. Quyidagicha tenglamalar sistemasi berilgan bo`lsin.

(1) tenglamalar sistemasining yechimi x=0 da o`rinlidir. (1) sistemasini grafiklar usuli bilan yechish uchun (1) sistemadagi birinchi tenglamani f(x), ikkinchi tenglamani g(x) ga o`zlashtiramiz va x ning qiymatlarini -10 va 10 oraliqda olamiz. Dekart koordinataga ularning grafiklarini chizamiz. Grafiklarning kesishgan nuqtasini yaqqol ko`rish uchun grafik chegaralarini o`zgartiramiz.

10.15-rasm. Grafiklar ko`rinishi

Vektorli grafiklarni chizish uchun Mathcad V o`zgaruvchisi bilan vektor aniqlaymiz. So`ng vektorning elementlarini diag(V) buyrug`i orqali matritsa ko`rinishiga o`tkazamiz va M bilan belgilaymiz. Mathcadning [Insert] bo`limidan [Graph] [Vector Flied Plot] Buyruqlar ketma - ketligi bajariladi. Ishchi stolda grafik chizish uchun maydon hosil bo`ladi va unga M matritsani ko`rsatamiz. Grafikda vektor elementlarining ishorasi va qiymatiga qarab vektorli grafik hosil bo`ladi (10.15 -rasmga qarang).



10.16-rasm. Vektorli va Polyar koordinatalarga doir grafik.

Polyar koordinatada grafiklarni tasvirlash uchun Bernulli lemniskati formulasini olish mumkin. Bu formulada biror – bir o`zgaruvchini parameter sifatida kiritamiz. Mathcadda [Insert][Graph][Polar Plot] Buyruqlar ketma- ketligini bajarib, ekranga grafik chizish uchun maydon hosil qilinadi. So`ng shu maydonda parametr va shu parametrda bog`liq bo`lgan Bernulli lemsikatining formulasi ko`rsatiladi (10.16-rasmga qarang).

Mathcadda grafiklarning qolgan turlariga oid grafiklarni tayyorlash uchun misollar keltiramiz (10.17, 10.18, 10.19-rasmlar).



10.17-rasm. Sohalarni chizish.

10.18-rasm. Diagramma, sohali, kontur grafiklar.



10.19-rasm. Nuqtali, sohali grafiklar

Mathcadda grafiklarni yaratishdan tashqari ularni hosil bo`lishi (shakllanishi, chizilishi) ni animatsiya orqali ham ifodalash mumkin. Buning uchun Mathcadda [FRAME] o`zgaruvchisi kiritilgan. Funksiyaning animatsiyali grafigini hosil qilish uchun unga parametr sifatida [FRAME] ni berish shart. Animatsiyaga doir funksiyaga urinma o`tkazishni olaylik (-rasmga qarang).

10.20-rasm. Mathcadda animatsiya hosil qilish.

Buning uchun funksiyani yozamiz va uning birinchi tartibli hosilasini olamiz. A o`zgaruvchiga [FRAME] ni qiymat qilib, x o`zgaruvchiga esa 0 dan 4 gacha qiymat qilib beramiz. So`ng urinma tenglamasini ikkinchi bir funksiya bilan belgilaymiz. Mathcad bo`limidan [Insert] [Garph][X-Y Plot] Buyruqlar ketma-ketligini tanlaymiz. Ishchi stolda x – y koordinata hosil bo`ladi.

8. 
   o`qiga uchta o`zgaruvchi x,x,a ni kiritamiz. Y o`qiga funksiya-f(x), urinma tenglamasi-y(x,a), nuqtadagi funksiya qiymati-f(a) ni kiritamiz. Grafikda funksiyadan x=0 nuqtadagi urinmani ko`rish mumkin. Animatsiya hosil qilish uchun Mathcad bo`limidan [View][Animate] Buyruqlar bajarilsa ishchi stolda [Animate] muloqot oynasi hosil bo`ladi (-rasmga qarang). Ishchi stoldan grafik jo`ylashgan maydon belgilab olinadi. [Animate] muloqot oynasiga otib, [From] ga
   

0 qiymat (chunki FRAME 0 dan o`zgarsin), [To] 12 qiymat (ya`ni 12 gacha o`zgarsin) va [At] ga animatsiya 1 sekundda nechta frameni o`qishini ko`rsatamiz (masalan, har bir nuqtada ko`rish uchun [1] ni kiritish kerak). So`ng muloqot oynadagi [Animate] tugmasini bosamiz va ekranga [Playback] muloqot oynasi chiqadi. Muloqot oynadan animatsiyani ko`rish uchun [Play] tugmasi bosiladi. Animatsiyani saqlash uchun esa [Animate] muloqot oynasidan [Save as] tugmasi bosiladi va animatsiya avi kengaytmali video rolik fayli ko`rinishda saqlanadi.

Mathcad tayyor rasmlar bilan ham ishlash mumkin. Buning uchun –jadvalda keltirilgan funksiyalardan foydalanamiz.

10.11-jadval. Rasmlar bilan ishlovchi funksiyalar.

1	Nomi	vazifasi
2	READBMP()	Rasmlarni oq-qora o`qish
3	READRGB()	Rasmlarni rangli o`qish
4	READPRN()	Vektorli rasmlarni o`qish
5	WRITEBMP()	Rasmlarni oq-qora yozish

Mathcadda rasmlar matritsa ko`rinishida sonlar bilan ifodalaniladi. Rasmlar bilan amal bajarganda matritsa va vektor funksiyalaridan foydalanamiz (10.21- rasm). Rasmlarni ishchi stolda ko`rinishi uchun [Insert][Picture] buyruqlar ketma-ketligi bajariladi.


10.21-rasm. Rasmlar bilan ishlash.

Vektorli rasmlarga misol olish uchun dunyo xaritasidan foydalanamiz. Bu xaritanining raqamli variantlarini internetdan olish mumkin. Vektorli rasmni bir ozgaruvchiga chaqiramiz. 0-tartibli ustunni a, 1-tartibli ustunni b ga o`zlashtiramiz va Mathcad bo`limidan [Insert] [Garph][X-Y Plot] Buyruqlar ketma-ketligini tanlaymiz. Ishchi stolda x – y koordinata hosil bo`ladi, x o`qiga a o`zgaruvchini, y- o`qiga b o`zgaruvchini kiritamiz va dunyo xaritasi hosil bo`ladi. Xaritani globus shakliga keltirish uchun shar shakli chizilgan (10.22-rasm) formulalardan foydalanib olamiz. Agar sharni harakatlantirish kerak bo`lsa, sichqonchadan foydalanish mumkin. Tasvirlangan shar aylanib turishni istasangiz [shift] tugmasini bosing va sichqoncha yordamida aylanish tomonini ko`rsating.

10.22-rasm. Dunyo xaritasini Mathcadda tasvirlash.

Mathcad dasturi orqali ixtiyoriy funksiyalarning grafigini chizish, rasmlar bilan ishlash va ularni qayta ishlab, raqamli rasmlarga almashtirish imkoniyati mavjud.