Informatika-matematika fakulteti

Teorema. Chekli gruppaning bir-biri bilan izomorf bo’lmagan
keltirilmaydigan xarakterlar funksiyalarning ortonarmal sistemasini hosil qiladi.
Teorema ikki qismdan iborat:
1. Aytaylik - bir-biri bilan izomorf bo’lmagan keltirilmaydigan
Г_1,Г₂ ifodalashning xarekterlari bo’lsin u holda ( )=0 haqiqatdan ham k – G guruppaning tartibi bo’lsin, u holda


ya’ni bu summa har bir qo’shiluvchisi nolga teng.
2. Agar Г – G guruppaning keltirilmaydigan ifodalashi bo’lsin, χ – esa uning xarakteri bo’lsin, u holda ( χ , χ )=1.
Haqiqatdan ham,

ya’ni =0 , agar i≠ j , .
Teoremani isbotlandi.
Guruppa uchun bo’lganligi uchun

ga ega bo’lamiz. Ikkinchi tamondan
demak ifodalashlar keltirilmaydigan bo’lmaydi. k-tartibli ixtiyoriy G gruppaning regulyar ifodalanishi xarakterining skalyar kvadratini topamiz. Yuqorida bo’lishini ko’rdik. Demak bo’ladi. Demak ixtiyoriy gruppaning regulyar ifodalashi keltiriladigan ifodalash bo’lar ekan. ifodalashlar bir xil xarakterga ega bo’lsa, ular izomorf bo’ladi.
Teorema. Chekli gruppaning barcha keltirilmaydigan ( o’zaro izomorf bo’lmagan ) ifodalashlar darajalari kvadratlarining yig’indisi gruppaning tartibiga teng, ya’ni agar G k-tartibli (chekli) gruppa bo’lsa va - keltirilmaydigan barcha ifodalashlar darajalari bo’lsin, u holda .
Isbot. Aytaylik -G gruppaning regulyar ifodasi bo’lsin. (Shuni ta’kidlash kerakki, regulyar ifodalash o’z ichiga ixtiyoriy ifodalashni oladi.) Agar -G gruppaning barcha keltirilmaydigan ifodalashlari bo’lsin va -ularning xarakterlari - ularning darajasi, regulyar ifodalashning xarakteri bo’lsin. U holda

bo’ladi. ning skalyar kvadrati

yuqorida skalyar kvadratning k ga tengligi =k .