Informatika-matematika fakulteti

2.2-§. gruppa ifodalashlari va ularning xarakteri

to’plamni qaraylik. G to’plamni gruppa tashkil etishini, ya’ni ko’paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil etishini tekshiraylik.

1. 
   Assosativlik qonuni
   

(Bu yerdagi ko’paytirish chapdan o’ngga amalgam oshiriladi. G gruppaning ixtiyoriy qiymatini birga ko’paytirishda yana birni hosil qilamiz. x ni 1-x ga ko’paytirib 1-x hosil qilamiz. Agar ikki ifodani ko’paytirilgahda kasr ifoda qatnashayotgan bo’lsa, u holda kasrning surati va maxraji ikkinchi ifodaga ko’paytiriladi.)
Yuqoridagi amallarni bajarib, assosativlik qonuni bajarilmoqda.
2. G da birlik element mavjudki,

1. 
   G da teskari element mavjud, haqiqatdan ham
   

Demak G to’plam gruppa bo’ladi.
G gruppa nokommutativ bo’ladi, ya’ni kommutativ qonun bajarilmaydi,
masalan, .
G gruppa o’z ichiga podgruppalarni, masalan, podgruppani oladi. uning assosativligi yetarli bo’ladi.
G gruppada siklik podgruppalar borligini ko’rsatamiz.
ikkinchi tartibli siklik podgruppa bo’ladi, chunki elementdan hosil bo’ladi. Oxirdagi ifoda ham elementdan hosil bo’lgan. Ikkinchi tartibli siklik podgruppani hosil qiladi. Ammo G gruppaning o’zi siklik gruppa bo’la olmaydi, ya’ni o’zining elelmentlaridan hosil bo’lmaydi, ya’ni

A podgruppa invariant podgruppa bo’ladi. Haqiqatdan ham,

Podgruppalar va invariant podgruppalarni Keli jadvali orqali topish mumkin.
Endi invariant podgruppa bo’yicha faktor gruppani topamiz.

1. 
   Assosativligi:
   

2.Birlik element:

3.Teskari element:

Analogik ravishda A ning qolgan elementlariuchun ham o’rinli.Demak A-G gruppaning faktor gruppasi bo’ladi.
A dan olingan qolgan elementlar uchun ham analitik ravishda bajarilmoqda. Demak A-G gruppaning faktor gruppasi bo’ladi.
G gruppa quyidagi gruppaga izomorf bo’ladi:
G gruppa uchun Keli jadvalini tuzamiz:

Uni gruppa jadvali bilan solishtiramiz.

Bu gruppalar elementlarining belgilanishi bilan farqlanmoqda. Bunday gruppalar izomorf bo’ladi, ularni bir xil deb hisoblash mumkin. Chunki “gruppa” nuqtai nazardan ular bir-biridan farqlanmaydi.
G gruppa o’zining

faktor gruppasiga gomomorf bo’ladi.
Haqiqatdan ham,

G gruppa uchta qo’shma sinfga ega

-birinchi tartibli element; , , -ikkinchi tartibli element; , -uchinchi tartibli element. -ning o’zi qo’shma. Ikkinchi tartibli uchta element bir-birlariga qo’shma, masalan,

elementlar ham o’zaro qo’shma .
G gruppaning bir o’lchovli ifodalashni ko’raylik. Gruppa elementlari
Aytaylik G gruppaning bir o’lchovli ifodalashi Г bo’lsin. U holda .
Faraz qilaylik bo’lsin. U holda

-o’zaro qo’shma bo’lganligidan.

Demak
1)
u holda,

2)
yoki ni hisobga olmasak . Bu bir o’lchovli ifodalashni
.
G gruppani ikki o’lchovli ifodalashni

ni ko’raylik.
GL(2,R) gruppa



ko’rinishga ega.
Undan

kelib chiqadi.
Tekshirish:


va hakazo.
Ikkinchi misolni ikki o’lchovli yoyilmasini qaraymiz va birinchi, ikkinchi yoyilmalardan ekvivalentligini ko’rsatamiz.

Bu yerda:

Haqiqatdan ham,




va hakazo.
Ekvivalentlik quyidagicha topiladi:
, bu yerda H-aynimagan matrissa. H-noma’lum bo’lib, uni ifodadan topamiz:
.
Unga teskari matrissa

topilgandan so’ng, ekvivalentlikni tekshiramiz. Aytaylik

U holda

Ga ega bo’lamiz. Ekvivalentlik tekshirildi. Umuman olganda H sifatida noldan farqli ixtiyoriy matrissani olish mumkin.
Uchinchi misolni qarab chiqamiz, ya’ni ikki o’lchovli ifodalashning bir o’lchovli ifodalashiga ekvivalentligini qarab chiqamiz.
Aytaylik .
U holda
.
Bu gruppaning G gruppa ikki o’lchovli ifodalashlari gruppasi bo’lishini tekshiramiz. Masalan,
demak, bu ifodalash G ghruppaning ikki o’lchovli ifodalash bo’ladi. Endi bu ifodalashning G gruppaning birinchi tartibli ifodalashga ekvivalentligini tekshiramiz:

Aytaylik,
.
U holda ekvivalentlik qoidasiga binoan,

ni hosil qilamiz. Agar bir o’lchovli ifodalash ikki o’lchovli, uch o’lchovli ifodalashga ekvivalent bo’ladi. Endi uch o’lchovli ifodalashni quramiz.
Г: .
Bu yerda,

Demak, uch o’lchovli ifodalash bir o’lchovli, ikki o’lchovli ifodalashlar orqali ifodalanadi.

Bu yerda bir o’lchovli, ikki o’lchovli ifodalashlar keltirilmaydigan ifodalashlar, uch o’lchovli ifodalash esa keltiriladigan ifodalash bo’ladi. Boshqa misolni ko’ramiz. Aytaylik

bu yerda

U holda

Buni tekshiramiz. Masalan,


va hakazo.
Bu uch o’lchovli ifodalash oldingi uch o’lchovli ifodalashga ekvivalent bo’ladi.