Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalar va ularni sinflash

Aim.uz

Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalar va ularni sinflash

Bu mavzuda biz xusuiy hosilali tenglama tushunchasi bilan tanishamiz va bunday tenglamaning tartibi, yechimi haqida to’xtalamiz hamda uning turli ko’rinishlarini ajratamiz.

1.1-Ta’rif. Xususiy hosilali differensial tenglama deb ko’p o’zgaruvchili funksiya, uning xususiy hosilalari va o’zgaruvchilar ishtirok etgan tenglamaga aytiladi.

Xususiy hosilali differensial tenglamaning tartibi deb unda ishtirok etgan noma’lum funksiya xusussiy hosilalarining eng katta tartibiga aytiladi.

funksiyaga nisbatan - tartibli xususiy hosilali differensial tenglama umumiy holda

(1.1)

ko’rinishda yoziladi. Bunda berilgan funksiya, natural sonlar bo’lib tenglikni qanoatlantiradi. Eslatib o’tish kerakki, agar xususiy hosilali differensial tenglamaning tartibi ga teng bo’lsa, u holda tenglamada noma’lum funksiyaning tartibgacha xususiy hosilalari ishtirok etishi mumkin bo’lib, ularning hammasi mavjud bo’lishi shart emas.

Agar noma’lum funksiya ikkita: va o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lsa, u holda (1) ga ko’ra ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama umumiy holda quyidagi ko’rinishda beriladi:

(1.2)

ko’rinishda yoziladi. Bunda biror berilgan funksiya.

1-Misol. Quyida berilgan tenglamalardan qaysilari xususiy hosilali differensial tenglamani ifodalaydi. Xususiy hosilali differensial tenglamalarning tartibini toping.

1) 3)

2) 4)

Yechish. Berilgan ushbu tenglamalarda ba’zi elementar almashtirishlardan keyin hosil bo’lgan tenglamalarni yozamiz. Buning uchun 1) – tenglamada elementar metematikadan ma’lum bo’lgan

ayniyatni hisobga olsak, bu tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:

.

Hosil bo’lgan bu tenglamada esa noma’lum funksiya va uning birorta ham xususiy hosilalari ishtirok etmadi. Bu esa 3- ta’rifga binoan 1) tenglamaning xususiy hosilali differensial tenglama emasligini bildiradi.

Xuddi shu kabi 2) – tenglamada ham trigonometriyadan ixtiyoriy uchun o’rinli bo’lgan

Ayniyatni e’tiborga olsak, ushbu tenglama quyidagi ko’rinishga keladi:

.

Bu tenglama va o’z navbatida 2) – tenglama ham 3-ta’rifga asosan xususiy hosilali differensial tenglama bo’lmas ekan.

3) va 4) – tenglamalarni boshqa elementar almashtirishlar natijasida yanada soddalashmaydi, ya’ni unda ishtirok etayotgan xususiy hosilalarni yo’qotib bo’lmaydi. Shuning uchun ham 3-ta’rifga binoan 3) va 4) tenglamalar xususiy hosilali differensial tenglamalar bo’ladi. 3) tenglamada noma’lum funksiya bilan birga xususiy hosilalar ham ishtirok etmoqda. Ko’rinib turibdiki, unda ishtirok etgan xususiy hosilalardan eng katta tartiblisi 3 bo’lib, u dan iborat. Demak 3) xususiy hosilali differensial tenglamalarning tartibi 3 ga teng ekan.

Xuddi shu kabi, 4) tenglamada ham noma’lum funksiya bilan birga xususiy hosilalar qatnashmoqda. Ulardan eng katta tartibli xususiy hosila bo’lib, uning tartibi 2 ga teng. 

1.2-Ta’rif. Agar ikkinchi tartibli xususiy hosilali diffrernsial tenglama



(1.3)

ko’rinishda bo’lsa unga ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama deb ataladi.

Agar (1.3) da bo’lsa unga bir jinsli, aks holda bir jinsli bo’lmagan xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama deyiladi.

Masalan

differensial tenglamalar ikki o’zgaruvchili funksiyaga nisbatan mos ravishda birinchi tartibli bir jinsli bo’lmagan va ikkinchi, uchinchi tartibli bir jinsli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalar bo’ladi, chunki ularda noma’lum funksiya va uninh xususiy hosilalari oldidagi koeffisientlar faqat o’zgaruvchilargagina bog’liq. Xususan, birinchi tenglama uchun tengliklar o’rinli.

1.3-Ta’rif. Agar (1.3) xususiy hosilali differernsial tenglamada koeffisientlar faqat o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lmasdan lardan ham bog’liq bo’lsa, ya’ni (1.3) tenglama ko’rinishi



(1.4)

kabi bo’lsa, unga ikkinchi tartibli xususiy hosilali kavazichiziqli differensial tenglama deb ataladi.

Xuddi shu kabi birinchi tartibli xususiy hosilali kavazichiziqli differensial tenglama deb

(1.5)

ko’rinishdagi tenglamaga aytiladi. Agar (1.5) da koeffisientlar noma’lum funksiya dan bog’liq bo’lmasa unga birinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenlama deyiladi.

2-Misol. Quyida berilgan

,

tenglamalar mos ravishda ikkinchi va birinchi tartibli kvazichiziqli xususiy hosilali differensial tenglamalar bo’ladi. Chunki, ularning birinchisida (1.4) fornulada belgilangan koeffisientlar quyidagilarga teng:

.

Ikkinchi tenglamada esa (1.5) fornulada belgilangan koeffisientlar quyidagilarga teng:

.

1.4-Ta’rif. Xususiy hosilali differernsial tenglamaning yechimi deb uni ayniyatga aylantiruvchi funksiyaga aytiladi.

Xususiy hosilali differernsial tenglamani yechish deb uning barcha yechimlarini topish yoki yechimga ega emasligini ko’rsatish jarayoniga aytiladi.

Ma’lumki, oddiy differensial tenglamani integrallash orqali topiladigan yechim unung umumiy yechimi yoki umumiy integrali deb atalib, u odatda bir nechta erkin parametrlarga bog’liq bo’ladi. Umumiy yechimdan parametrlarning berilgan qiymatlarida hosil bo’luvci yechimlarga xususiy yechimlar deyiladi. Agarda tenglamaga qo’shimcha hech qanday shartlar ilova qilinmagan holda differensial tenglamaning xususiy yechimlari cheksiz ko’p bo’ladi.

3-Misol. Berilgan

ikkinchi tartibli bir jinsli oddiy differensial tenglama yechimini ko’rinishida izlaymiz. U holda

bo’lib, uni berilgan tenglamaga qo’yib va tenglamaning ikkala tomonini musbat ifodaga bo’lamiz. Natijada biz xarakteristik tenglama deb ataluvchi

kvadrat tenglamaga kelamiz. Uning yechimlari bo’lib, dastlabki tenglamaning chiziqli bog’lanmagan yechimlari

bo’lib, tenglamaning umumiy yechimi

ko’rinishda bo’ladi va bunda lar ixtiyoriy doimiylar (parametrlar).

Xuddi shu kabi xususiy hosilali differensial tenglama ham odatda cheksiz ko’p sondagi yechimlarga ega bo’lib, umumiy yechim bir qancha ixtiyoriy funksiyalardan bo’g’liq bo’ladi. Ushbu ixtiyoriy funksiyalarni tanlash bilan umumiy yechimdan hosil qilinuvchi yechimlarga xususiy yechimlar deyiladi. Umumiy yechimdan hosil qilib bo’lmaydigan tenglama yechimlariga esa maxsus yechimlar deb ataladi.

4-Misol. , , funksiyalarning har biri xuxusiy hosilali

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama yechimlari bo’ladi. Chunki berilgan funksiyalarning har biridan bo’yicha olingan xususiy hosilalar hammasi ga teng. Qaralayotgan xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy yechimini topish uchun uning o’ng tomonidafi funksiyani har bir tayinlangan da biror olib oraliqda bo’yicha integrallaymiz:

.

Bunda va ixtiyoriy funksiyalar. Dastlab berilgan , , yechimlar umumiy yechimda mos ravishda kabi tanlash natijasida hosil bo’ladi. Demak ular berilgan tenglamaning xususiy yechimlari bo’ladi. Bu tenglama maxsus yechimlarga ega emas.

5-Misol. xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechish. Berilagan tenglama funksiyaga nisbatan ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamadir. Uning yechimi bo’yicha ikki marta hosilasi funksiyaga teng bo’lishi kerak. Bunday funksiyani topish uchun har bir tayinlangan da funksiyadan bo’yicha ikki marta aniqmas integral olamiz. Bir marta integrallash bilan quyidagi natijani olamiz:

.

Uni ikkinchi marta bo’yicha integrallab, izlangan yechimni olamiz:

.

Bunda va lar faqat o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan va ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiyalardir. Demak berilgan tenglamaning yechimi ikkita ixtiyoriy uzluksiz funksiyadan bog’liq bo’lib

formula bilan aniqlanar ekan.

Quyidagi misollar 2-tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalarni ma’lum soddalashtirish natijasida umumiy yechimni topish jarayonida keng qo’llaniladi.

6-Misol. xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechish. Berilgan tenglamani quyidagi ko’rinishda tasvirlab olamiz:

.

Xuddi yuqorida berilgan misoldagi kabi bu tenglamani bo’yicha integrallab, quyidagi tenglamaga kelamiz:

.

Bunda ixtiyoriy uzluksiz funksiya. Endi

(1.6)

tenglamani yechish maqsadida

(1.7)

almashtirish bajaramiz. U holda bo’lib, (1.6) tenglama quyidagi ko’rinishga keladi:

.

Bu tenglamaning ikkala tomonini ga bo’lingandan keyin unga teng kuchli bo’lgan tenglamani hosil qilamiz:

.

Bu tenglama xuddi 5-misoldagi kabi ko’rinishga ega bo’lib, bir marta bo’yicha integrallab ni topamiz:

,

bunda va ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiyalar. ning bu ifodasini (1.7) ga qo’yib, dastlab berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimiga ega bo’lamiz:

.

7-Misol. , -berilgan funksiya, xususiy hosilali tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechish. Ushbu tenglama ham xuddi oldingi misoldagi kabi yechiladi. Uni ham dastlab

ko’rinishda yozib olamiz va bo’yicha integrallab, quyidagi tenglamaga kelamiz:

. (1.8)

Ushbu differensial tenglamani yechish maqsadida

(1.9)

almashtirish bajaramiz. U holda bo’lib, (1.8) tenglama quyidagi sodda ko’rinishga keladi:

.

Xuddi oldingi misollardagi kabi bu tenglama bo’yicha integrallab ni topamiz:

.

Bunda birinchi integralni bajarib quyidagi natijani olamiz

,

bu formulada va lar ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy ikki funksiyalar. ning bu ifodasini (1.9) ga qo’yib, berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimiga ega bo’lamiz:

.

Ushbu yechimni quyidagicha tasvirlash qulaydir:

.

Bunda funksiya ixtiyoriy qiymat qabul qilganda funksiya ham ixtiyoriy qiymatlar qabul qiladi.

Xulosa qilib aytganda ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamaning yechimi mavjud bo’lganda ikkita ixtiyoriy funksiyaga bog’liq bo’lar ekan.

Aim.uz