Ikkinchi tartibli egri chiziqlar Reja

5. Giperbolaning xossalalari

Giperbolaning geometrik xossalarini o`rganish va uni yasash uchun (45.6) tenglamadan foydalanamiz. Ellips tenglamasi ustida olib borgan muhokamalarni takrorlab giperbolaning koordinatalar boshi, koordinatalar o`qlariga nisbatan simmetrikligini aniqlanadi.

Giperbola Ox o`qi bilan A<sub>1</sub>(a,0), A<sub>2</sub>(-a,0) nuqtalarda kesishadi. (45.6) tenglama bilan aniqlangan giperbola Oy o`qi bilan kesishmaydi. Giperbola Oy o`qi bilan B₁(0,b), B₂(0,-b) mavxum nuqtalarda kesishadi deb kelishib olamiz.

A₁, A₂ nuqtalar giperbola uchlari deyiladi. Giperbolaning uchlari orasidagi masofa giperbolaning haqiqiy o`qi deyiladi.

B₁, B₂ nuqtalarni giperbolaning mavhum uchlari deyiladi. B₁B₂=2b kesmani giperbolaning mavhum o`qi deyiladi. a va b larni mos ravishda haqiqiy va mavhum yarim o`qlar deyiladi.

Agar N(x,y) nuqta giperbolada yotsa, (45.6) tenglamadan: / /a . demak x=a to`g’ri chiziqlar bilan chegaralangan tasmada (polosa) da giperbolaning birorta ham nuqtasi yo`q (86-chizma).

Giperbola tenglamasini y ga nisbatan echaylik

y= (46.1)

bu tenlamaga e’tibor bersak x o`zgaruvchi a dan + gacha o`sib borganda va –a dan - gacha kamayganda, y miqdor - <y<+ oraliqda o`zgaradi. Demak, giperbola ikki qismdan iborat bo`lib, 91-chizmada tasvirlangan.

Ularni giperbolaning tarmoqlari deyiladi.

Giperbolaning o`ng tarmog’i  a yarim tekislikda, chap yarim tarmogi x < -a yarim tekislikda yotadi.

Giperbolaning ekstsentrisiteti, asimptotalari va direktrisalari.

Giperbolaning shaklini aniq tasvirlash uchun yassi chiziqning asimptotasi tushunchasini kiritamiz. Bizga chiziqni kesmaydigan d to`gri chiziq berilgan bo`lsin.

Ta’rif. Agar N nuqta shu chiziq bo`yicha harakat qilganda uning d to`g’ri chiziqqacha bo`lgan masofasi nolga intilsa, to`g’ri chiziq chizining asimptotasi deyiladi.

Giperbola markazidan o`tuvchi d to`g’ri chiziq

x=a₁ t

y=a₂ t (47.1)

parametrik tenglamasi bilan berilgan. (45.6) va (47.1) tenglamalarni sistema qilib echamiz

(47.2)

1. 
   agar >0 bo`lsa, (47.2) tenglama t_1,2=
   

demak , d to`g’ri chiziq giperbola bilan ikkita N₁(a₁t, a₂t) va N₂(a₁t₂, -a₂t₂) nuqtalarda kesishadi.

2. Agar <0 bo`lsa, u holda d to`g’ri chiziq giperbolani kesmaydi.

Xususan, =0, u holda = . d₁: y= x, d₂: y=- x tenglama bilan aniqlangan d₁, d₂ to`g’ri chiziqlar giperbola assimptotalari deyiladi.

Giperbola koordinatalar o`qlariga nisbatan simmetrik bo`lgani uchun uning birinchi choragidagi qismini olamiz.

Agar x>0 bo`lsa, giperbolaning birinchi chorakdagi qismini aniqlaydi

y=

Giperbolaga tegishli N₁(x₁,y₁) nuqtani va d₁ to`g’ri chiziqqa tegishli N₂(x₂,y₂) nuqtani olaylik.

(y₁ = , y₂ = x)  y₂>y₁

Demak, giperbola uning asimptotalar hosil qilgan vertikal burchaklardan fokuslarini o`z ichiga oluvchi sohada yotadi (92-chizma).

Endi ordinatalarning farqiga e’tibor beraylik.

y₂-y₁= (x- )=

Agar Ng nuqtaning absissasi x>0 cheksiz ortib borsa, y₂-y₁ ayirma monoton kamayib nolga intiladi va N nuqta giperbolani A₁ uchidan chiqib assimptotaga cheksiz yaqinlashib boradi.

Giperbola tasviri 92-chizmada berilgan.

Agar giperbolaning yarim o`qlari teng bo`lsa, bunday giperbolani teng tomonli deyiladi. Teng tomonli giperbolaning assimptotalari perpendikulyar bo`ladi. Teng tomonli giperbolaning kanonik tenglamasi

x²-y²=a²

ko`rinishda yoziladi.

Ushbu

(47.3)

tenglama fokal o`qi Oy da yotuvchi giperbolaning kanonik tenglamasi deb aytiladi.

Ayni bir koordinatalar sistemasida a va b larning ayni bir qiymatida

,

tenglamalar bilan aniqlangan ikki giperbola o`zaro qo`shma giperbola deb aytiladi.

Ta’rif. Giperbolaning fokuslari orasidagi masofani haqiqiy o`q uzunligiga nisbati giperbolaning ekstsentrisiteti deyiladi.

e= = bunda c>a  e>1.

45-§, (45.7) va (45.8) larni e’tiborga olsak giperbolaning fokal radiuslarini quyidagicha

x > 0 bo’lganda (47.4)

x < 0 bo’lganda (47.5)

yozish mumkin.

Ekstsentrisitet giperbolaning shaklini aniqlashda muhim ahamiyatga ega. haqiqatan ham e= dan c=ea, b²=c²-a² ga qo`ysak b<sup>2</sup>=a<sup>2</sup>(e<sup>2</sup>-1) yoki = bo`lib, bunga asosan, ekstsentrisitet qanchalik kichik, ya’ni

e 1 bo`lsa, shunchalik kichik bo`ladi, ya’ni 0 bo`ladi (bu yerda a-const deb faraz qilinadi). Giperbola o`zining haqiqiy o`qiga siqilgan bo`ladi.

Aksincha, e kattalashib borsa ham kattalashib giperbola tarmoqlariga kengayib boradi.

93-chizmada g₁, g₂, g₃ giperbolalar tasvirlangan bo`lib, ularning , , ekstsentrisitetlari uchun e<sub>123</sub> tengsizliklar o`rinli.

Giperbolaning direktrisalari.

Giperbola o’zining

( ) (47.6)

kanonik tenglamalari bilan berilgan bo’lsin.

Ta’rif: Giperbolaning berilgan F fokusga mos direktrisasi deb, uning fokal o’qiga perpendikulyar va markazdan shu F fokus yotgan tomonda masofada turuvchi to’g’ri chiziqqa aytiladi.

va fokuslarga mos direktrisalarni va deb belgilasak, u holda bu direktrisalarning tenglamalari