Ikkinchi tartibli egri chiziqlar Reja

Ikkinchi tartibli egri chiziqlar

Reja:

1. 
   Tekislikda ikkinchi tartib chiziqlar tenglamalari. Aylana.
   
2. 
   Ellips ta’rifi, kanonik tenglamasi.
   
3. 
   Ellipsning xossalari.
   
4. 
   Giperbola ta’rifi, kanonik tenglamasi.
   
5. 
   Giperbolaning xossalalari .
   

6. Parabola ta’rifi, kanonik tenglamasi.

Aylana maktab geometriya kursidagi ko`plab masalalarni yechishda muhim ahamiyat kasb etadi. Shuning uchun qaralayotgan paragrafda aylananing analitik ifodasini berib, masalalar yechishga tadbiq qilamiz.

Ta‘rif. Tekislikda berilgan nuqtadan berilgan masofada yotuvchi nuqtalarning (to`plamini ) geometrik o`rnini aylana deyiladi.

Ta’rifda aytilgan nuqtani aylana markazi, berilgan masofani aylana radiusi deyiladi va r bilan belgilaymiz.

To`g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi (Oij) berilgan bo`lsin. Tekislikdagi ixtiyoriy N(x,y) nuqta aylanada yotishi uchun

| |=r (15.1)

shart o`rinli bo`lishi lozim. Bu yerda M(a,b) aylana markazi

(15.1) dan:

bundan,

(x-a)²+(y-b)²-r²=0 (15.2)

markazi C(a,b) nuqtada radiusi r ga teng bo`lgan aylananing u m u m i y

t e n g l a m a s i deyiladi.

Agar a=b=0 bo`lsa, M nuqta koordinatalar boshi bilan ustma-ust tushadi.

(15.2) tenglama,

x²+y²=r² (15.3)

ko`rinishda bo`ladi. Bu tenglama markazi koordinatalar boshida bo`lgan aylananing N o r m a l t e n g l a m a s i deyiladi.

(15.2) dan qavslarni ochib chiqsak, quyidagi hosil bo`ladi:

x²+y²-2ax-2by+(a²+b²-r²)=0

-2a=D, -2d=E, a²+b²-r²=F bilan belgilasak aylana tenglamasi

x²+y²+Dx+Ey+F=0 (15.4)

ko`rinishga keladi. (15.4) tenglamaga e’tibor bersak, ikkinchi tartibli algebraik chiziq aylana tenglamasi bo`lishi uchun: a) o`zgaruvchi koordinatalar ko`paytmasi xy qatnashmasligi, b) x² va y² oldidagi koeffitsientlar teng bo`lishi kerak, degan xulosaga kelamiz.

Masala. 1. Koordinatalari (15.4) tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o`rnini tekshiring.

Yechish (15.4) tenglamaning ko`rinishini

yoki

(15.5)

o`zgartirish mumkin. Bu yerda p=D²+B²-4F.

Quyidagi xollardan biri bo`lishi mumkin:

1.D²+B²-4F > 0 bo`lsa, (15.5) tenglama markazi nuqtada radiusi teng aylana tenglamasidir.

2.D²+E²-4F = 0 bo`lsa, (15.5) tenglamani bittagina nuqta koordinatalari qanoatlantiradi. Demak, geometrik o`rin bitta nuqtadan iborat bo`ladi.

3.D²+E²-4F < 0 bo`lsa, u holda koordinatalari (15.5) tenglamani qanoatlantiruvchi bitta ham haqiqiy nuqta mavjud emas.

2-Masala. quyida berilgan tenglamalarning qaysi birlari aylanani aniqlaydi. Agar tenglamalar aylanani aniqlasa, uning markazining koordinatalarini va radiusini toping.

a) x²+y²-4x+8y+4=0;

b) x²+2y²-4x=0;

v) x²+y²-3=0;

g) 4x²+4y²-4x+8y+5=0.

Yechish. hamma hol uchun p=D²+E²-4F.

a) p=(-4)²+8²-4™4=64, (x-2)+(y+4)=16.

Bu markazi M(2;-4) nuqtada radiusi r=4 bo`lgan aylanani aniqlaydi.

b) x², y² lar oldidagi koeffitsientlari teng emas, demak bu tenglama aylanani aniqlamaydi.

v) =0+0+4 3=12 > 0.

Tenglamalar markazi koordinatalar boshida radiusi r= bo`lgan aylanani ifodalaydi.

g) berilgan tenglamada x² va y² larning oldidagi koeffitsientlar bir-biriga teng shartga ko`ra aylanani ifodalaydi. Uning markazi va radiusini topaylik. Tenglamani 4 ga bo`lib,

x²+y²-x+2y+ =0

=D²+E² - 4F=1+4 = 5 ¹ 0. Shunday qilib, tenglama faqat bitta ( ; 1) nuqtani aniqlaydi.

2.