Ikkinchi tartibli egri chiziqlar: aylana, ellips va uning elementlari. Namunaviy misollar yechish

Ikkinchi tartibli egri chiziqlar: aylana, ellips va uning elementlari.


Namunaviy misollar yechish:
1-Misol. aylananing markazi koordinatalari va radiusi
aniqlansin.
Yechish:
aylananing kanonik
tenglamasiga keltiramiz:
x²-2x+1-1+y²+4y+4-4-4=0 va
(x-1)²+(y+2)²=9=3² ni hosil qilamiz.
Demak, berilgan aylananing markazi
O(1;-2) va radiusi R=2 bo’ladi.

1-rasm.
2-Misol. A(-1;5), B(-2;2); C(5;5) nuqtalardan o’tuvchi aylana tenglamasini tuzilsin.

Yechish: Nuqtalarning koordinatalari aylana tenglamasini qanoatlantirishi kerak:
yoki

Demak,
3-Misol. ellipsning fokuslari, ekstsentrisiteti topilsin va direktrisalari chizilsin.
Yechish: ellipsning kanonik tenglamasidan
va va
.
Fokuslari F₁(-3;0) va F₂(3;0),
Ekstsentrisiteti
Direktrisalari
2-rasm.
4-Misol. A(9;4) nuqtadan o’tib, koordinata o’qlariga nisbatan simmetrik bo’lgan giperbolaning haqiqiy yarim o’qi 3ga teng. Giperbola tenglamasi tuzilsin va asimtotalari, ekstsentrisiteti aniqlansin, shakli chizilsin.
Yechish: giperbolaning kononik tenglamasidan
b=
asimtotolari

tenglamalari

fokuslari va

ekstsentrisiteti 3-rasm
5-Misol. giperbolada abstsissasi 10 ordinatasi musbat bo’lgan nuqta olingan. Bu nuqtnaning fokal radiuslari topilsin.
Yechish:

o’ng tarmog’i uchun fokal radius vektorlar.
6-Misol. Fokusi 4x-3y-4=0 to’g’ri chiziqning 0x o’qi bilan kesishish nuqtasida bo’lgan parabola tenglamasi tuzilsin.
Yechish: x=1, F(1;0)
Demak, P=2 bo’lib, bo’ladi.
7-Misol. y=4x-x² tenglamani soddalashtirib, chizmasi chizilsin.
Yechish:
Demak, berilgan parabolaning uchi A(2;4) bo’lib, koordinata boshini shu nuqtaga ko’chirib, yangi koorlinata sistemasida parabola shaklini chizamiz:

.

4-rasm
Mustaqil ishlash uchun topshiriqlar

1. Markazi (0; 3) nuqtada bo`lgan (3; 7) nuqtadan o`tuvchi aylana radiusini toping.

2. O`z harakati davomida x = 9 to`g`ri chiziqqa nisbatan A(1; 0) nuqtaga uch marta yaqinroq bo`lgan nuqtalarning trayektoriyasini aniqlang.
3. Radiusi ga teng hamda (2; 0) va (0; -2) nuqtalardan o`tuvchi aylana tenglamasini tuzing.
4. Agar 5x-2y-20 = 0 to`g`ri chiziq ellipsga urinib o`tishi ma’lum bo`lsa, shu urinish nuqtaning koordinatalarini toping.
5. Uchta A(-4; 1), B(2; 7), C(8; 1) nuqtalardan o`tuvchi aylana tenglamasini tuzing.
6. Tenglamasi bo`lgan ellips berilgan. Uchlari ellipsning fokuslaridan, fokuslari esa uning uchlarida bo`lgan giperbola tenglamasini tuzing.
7. Markazi A(7; 4) nuqtada bo`lgan va 4x-3y+12 = 0 to`g`ri chiziqqa urinadigan aylana tenglamasini yozing.
8.Fokuslari absissa o`qida, koordinata boshiga nisbatan simmetrik va uchlari orasidagi masofa 2c=24, asimtota tenglamalari bo`lgan giperbola tenglamasini tuzing.
9. Uchi koordinata boshida bo`lgan parabola A(4; 2) nuqta orqali o`tadi va Ox o`qiga nisbatan simmetrik. Parabolaning tenglamasi, fokuslari va direktrisalarini toping.
10.Berilgan F(4; 0) nuqtadan va y = 4 to`g`ri chiziqdan bir xil uzoqlikda joylashgan nuqtalar geometrik o`rnining tenglamasini tuzing.
11. Koordinata boshidan va x+y+4 = 0 to`g`ri chiziqning aylana bilan urinish nuqtalari orqali o`tuvchi aylana tenglamasini yozing.
12. Berilgan A(-2; 1), B(-1; 0) va C(0; -3) nuqtalar orqali o`tuvchi aylanaga koordinata boshidan o`tkazilgan urinma tenglamasini yozing.
13. aylananing Ox o`qi bilan kesishish nuqtalariga o`tkazilgan radiuslari orasidagi burchakni toping.
14. A(0; 3) nuqta aylana ichida yotishini ko`rsating va A nuqtada teng ikkiga bo`linadigan vatar tenglamasini yozing.
15. 4x² + 4y² - 12x + 16y = 0 tenglama bilan berilgan aylana radiusini va markazini aniqlang
16.Uchlari ellepsning fokuslarida, fokuslari esa uning uchlarida bo`lgan giperbola tenglamasini yozing.
17. Berilgan nuqtalar orqali o`tuvchi koordinata o`qlariga nisbatan simmetrik giperbola tenglamasini yozing.
18. Asimptotasi va nuqtadan o`tuvchi giperbola tenglamasini yozing.
19. a) ; b) ; c) ; d) tenglamalr bilan berilgan parabolani chizing, fokuslari, direktrisai tenglamasini yozing.
20. parabolada, fokal radiusi 2 bo`lgan nuqtani toping.
21. Agar parabola x-y = 0 to`g`ri chiziq va x²+y²+6y = 0 aylananing kesishish nuqtalari orqali o`tsa hamda Oy o`qiga nisbatan simmetrik bo`lsa, uning kanonik tenglamasi va diraktrisasini yozing