|
Eslatma : "Birgalikda ishlash" atamasi tizim hech bo'lmaganda qandaydir yechimga ega ekanligini bildiradi. Bir qator vazifalarda, avvalo, tizimning mosligini tekshirish kerak, buni qanday qilish kerak - maqolaga qarang. matritsalar darajasi.
Ushbu tizimlar uchun barcha yechim usullarining eng universali qo'llaniladi - Gauss usuli... Aslida, "maktab" usuli javobga olib keladi, ammo oliy matematikada noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilishning Gauss usulidan foydalanish odatiy holdir. Gauss usuli algoritmi bilan tanish bo'lmaganlar uchun, iltimos, birinchi navbatda darsni o'rganing Qo'g'irchoqlar uchun Gauss usuli.
Elementar matritsa o'zgarishlarining o'zi aynan bir xil, farq yechimning oxirida bo'ladi. Tizimda hech qanday yechim bo'lmaganda (mos kelmaydigan) bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
1-misol
Ushbu tizimda darhol nima diqqatni tortadi? Tenglamalar soni o'zgaruvchilar sonidan kamroq. Agar tenglamalar soni o'zgaruvchilar sonidan kam bo'lsa, keyin biz darhol tizimning mos kelmaydigan yoki cheksiz ko'p echimlarga ega ekanligini aytishimiz mumkin. Va faqat bilish uchun qoladi.
Yechimning boshlanishi mutlaqo oddiy - biz tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar o'zgarishlardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:
(1) Yuqori chap pog'onada biz +1 yoki -1 olishimiz kerak. Birinchi ustunda bunday raqamlar yo'q, shuning uchun qatorlarni qayta tartibga solish hech narsa bermaydi. Birlik mustaqil ravishda tashkil etilishi kerak va bu bir necha usul bilan amalga oshirilishi mumkin. Men shunday qildim: Birinchi qatorga uchinchi qatorni -1 ga ko'paytiramiz.
(2) Endi biz birinchi ustunda ikkita nol olamiz. Ikkinchi qatorga biz birinchi qatorni 3 ga ko'paytiramiz. Uchinchi qatorga birinchi qatorni 5 ga ko'paytiramiz.
(3) Amalga oshirilgan transformatsiyadan so'ng, har doim qarash tavsiya etiladi va natijada olingan chiziqlarni soddalashtirish mumkinmi? mumkin. Ikkinchi qatorni 2 ga bo'ling, shu bilan birga ikkinchi bosqichda kerakli -1 ni oling. Uchinchi qatorni -3 ga bo'ling.
(4) Ikkinchi qatorni uchinchi qatorga qo'shing.
Ehtimol, hamma elementar o'zgarishlar natijasida paydo bo'lgan yomon chiziqqa e'tibor qaratgan: ... Bunday bo'lishi mumkin emasligi aniq. Haqiqatan ham, biz olingan matritsani qayta yozamiz chiziqli tenglamalar tizimiga qaytish:
Agar elementar o'zgartirishlar natijasida nolga teng bo'lmagan raqam shakldagi qator olingan bo'lsa, u holda tizim mos kelmaydi (echimlari yo'q).
Topshiriqning tugashini qanday yozish mumkin? Keling, oq bo'r bilan chizamiz: "elementar o'zgartirishlar natijasida, shaklning chizig'i, qaerda" olindi va javob bering: tizimda echimlar yo'q (mos kelmaydigan).
Agar shartga ko'ra, tizimni muvofiqligi uchun TADQIQOT ETilishi talab etilsa, u holda kontseptsiyani jalb qilgan holda yanada mustahkam uslubda yechim chiqarish kerak bo'ladi. matritsaning darajasi va Kroneker-Kapelli teoremasi.
E'tibor bering, bu erda Gaussning orqaga qaytishi yo'q - hech qanday yechim yo'q va shunchaki topadigan hech narsa yo'q.
2-misol
Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching
Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol. Toʻliq yechim va oʻquv qoʻllanmasining oxirida javob bering. Yana bir bor eslatib o'tamanki, sizning qaror qabul qilish kursim mening qaror kursimdan farq qilishi mumkin, Gauss algoritmida kuchli "qattiqlik" yo'q.
Yechimning yana bir texnik xususiyati: elementar transformatsiyalarni to'xtatish mumkin birdaniga, shakl chizig'i paydo bo'lishi bilanoq, qaerda. Shartli misolni ko'rib chiqing: deylik, birinchi transformatsiyadan keyin matritsa olinadi ... Matritsa hali bosqichli shaklga tushirilmagan, ammo keyingi elementar o'zgarishlarga ehtiyoj yo'q, chunki shakl chizig'i paydo bo'ldi, bu erda. Siz darhol tizim mos kelmaydi deb javob berishingiz kerak.
Agar chiziqli tenglamalar tizimining yechimlari bo'lmasa, bu deyarli sovg'adir, chunki qisqa yechim, ba'zan tom ma'noda 2-3 bosqichda olinadi.
Ammo bu dunyoda hamma narsa muvozanatli va tizimda cheksiz ko'p echimlar mavjud bo'lgan muammo uzoqroq.
3-misol
Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching
4 ta tenglama va 4 ta noma'lum, shuning uchun tizim bitta yechimga ega bo'lishi mumkin yoki hech qanday yechimga ega bo'lmasligi yoki cheksiz ko'p echimga ega bo'lishi mumkin. Qanday bo'lmasin, lekin Gauss usuli bizni baribir javobga olib boradi. Bu uning ko'p qirraliligi.
Boshlanish yana standart. Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:
Hammasi shu, siz qo'rqdingiz.
(1) E'tibor bering, birinchi ustundagi barcha raqamlar 2 ga bo'linadi, shuning uchun biz chap tomonda ikkitadan mamnunmiz. Ikkinchi qatorga -4 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing. Uchinchi qatorga -2 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing. To'rtinchi qatorga -1 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing.
Do'stlaringiz bilan baham: |
