Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient

2.4. Yuqori tartibli differensiallar. Endi yuqori tartibli differensiallar tushunchasini kiritamiz. z=f(x,y) funksiya II tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsin. Bu holda

df _ f (x, y) dx _ f (x, y) dy
x y
to‘la differensial ikki o‘zgaruvchili funksiya sifatida uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘ladi. Shu sababli df differensialning d(df)differensiali haqida so‘z yuritish mumkin .
6-TA’RIF: Agar z=f(x,y) funksiya df differensialning d(df)differensiali mavjud bo‘lsa, u funksiyaning II tartibli differensiali deb ataladi va d²f kabi belgilanadi.
Agar z=f(x,y) funksiya II tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsa, uning II tartibli differensiali d²f mavjud va uning ta’rifi hamda to‘la differensial formulasiga asosan quyidagi natijani olamiz:

d2 f  d(df )  (dfx )dx  (dfy )dy  x fx dx  fy dydx  y fx dx  fy dydy 
   
 2 f dx2  2 f dydx 2 f dxdy 2 f dy2  2 f dx2  2 2 f dxdy 2 f dy2.
x2 xy yx y2 x2 xy y2
Bunda argument differensiallari dx va dy o‘zgarmas son singari qaraldi hamda aralash hosilalar haqidagi teoremadan foydalanildi.
Demak, II tartibli differensial d²f funksiyaning II tartibli hosilalari orqali quyidagicha ifodalanadi: d² f  ^2x^f dx²  2 ^x²^fy dxdy  ^²2^f dy² (16)
 _{2 y}
I tartibli df differensialni ifodalovchi (13) tenglikdan f “umumiy ko‘paytuvchini” shartli ravishda qavsdan tashqariga chiqarib va tenglikni ikkala tomonini unga “qisqartirib”, ushbu operator belgisiga ega bo‘lamiz:

d  ^ dx  ^ dy . (17)
x y
Izoh: Matematik analizda operator atamasi funksiyaga funksiyani mos qo‘yadigan akslantirishni ifodalaydi. (17) operator har bir f funksiyaga uning df to‘la differensialini mos qo‘yadi.
(17) operator orqali II tartibli d²f differensialni hisoblashni ifodalaydigan (16) formulani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
2

d² f  ^_^xdx  _^y dy^_ f . (18) _
Umuman olganda, z=f(x,y) funksiya n-tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsa, uning n-tartibli differensiali dⁿf mavjud bo‘lib, dⁿf=d(d^n–1f) rekurrent formula orqali aniqlanadi va
n

dⁿ f  ^_^xdx  _^y dy^_ f (19)
_
operator formula yordamida hisoblanadi. Nyuton binomi formulasidan (I bob,§3, (5) formula) foydalanib, (19) operatorli tenglikdan n-tartibli dⁿf differensialni z=f(x,y) funksiyaning n-tartibli hosilalari orqali ifodalovchi ushbu formulaga ega bo‘lamiz:

dⁿ f  kⁿ0C_n^k _kx^_nn^f_{k y} ^kdy^nk . (20) dx
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning n-tartibli dⁿf differensiali bir o‘zgaruvchili funksiyaning n-tartibli differensialiga o‘xshash vazifani bajaradi va ulardan funksiyalarning xususiyatlarini o‘rganishda va turli masalalarni yechishda foydalaniladi.
XULOSA
Oldin ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar uchun limit, uzluksizlik kabi asosiy tushunchalar umumlashtirilgan edi. Endi bu funksiyalar uchun differensial hisobda eng asosiy bo‘lgan hosila va differensial tushunchalari qaraladi. Bunda ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarga xos bo‘lgan xususiy hosila, aralash hosila, xususiy va to‘la differensial kabi yangi tushunchalar ham paydo bo‘ladi. Shuningdek yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient tushunchalari va ularning xossalar qaraladi. Urinma chiziq tushunchasini umumlashtiruvchi urinma tekislik tushunchasi kiritiladi. Kiritilgan tushuncha va olingan natijalarning geometrik talqini beriladi.