Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient

5-TA’RIF: Fazodagi S sirtda yotuvchi va uning M₀(x₀, y₀, z₀) nuqtasidan o‘tuvchi barcha egri chiziqlarining shu nuqtadagi barcha urinmalaridan hosil bo‘lgan P tekislik S sirtning M₀(x₀, y₀, z₀) nuqtasidagi urinma tekisligi deb ataladi.
3-TEOREMA: Agar z=f(x,y) funksiyaning grafigi S sirtdan iborat bo‘lsa, bu sirtning biror M₀(x₀, y₀, z₀)= M₀(x₀, y₀, f(x₀, y₀)) nuqtasida urinma P tekislik mavjud bo‘lishi uchun funksiya shu nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi zarur va yetarli. Bu teoremani isbotsiz qabul etamiz.
Bunda df to‘la differensial S sirtning M₀(x₀, y₀, z₀) nuqtadagi urinma tekisligi applikatasining orttirmasiga teng bo‘ladi va bu tasdiq to‘la differensialning geometrik ma’nosini ifodalaydi. Bu holda S sirtning M₀(x₀, y₀, z₀) nuqtasiga o‘tkazilgan P urinma tekislik tenglamasi z  f (x₀, y₀)  f_x(x₀, y₀)(x  x₀)  f_y(x₀, y₀)(y  y₀) (14)
ko‘rinishda bo‘lishini keltirib chiqarish mumkin.
Masalan, z=f(x,y)=x²–2xy+y²–x+2y funksiya bilan aniqlangan S sirtning M(1,1,1) nuqtasiga o‘tkazilgan urinma tekislik tenglamasini topamiz. Bunda xususiy hosilalar mavjud, uzluksiz va f_x(1,1)  (2x  2y 1) ^x_y^_¹₁  1, f_y(1,1)  (2x  2y  2) ^x_y^_¹₁  2 ,
f(1,1)=1 bo‘lgani uchun, (14) tenglikka asosan izlangan urinma tekislik tenglamasi
z–1=–(x–1)+2(y–1) => x–2y+z=0
ekanligini aniqlaymiz.
(5) tenglikdan ko‘rinadiki, agar z=f(x,y) funksiya M(x,y) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, unda u bu nuqtada uzluksiz bo‘ladi. Haqiqatan ham, bu holda lim f  lim (Ax  By x y)  0
x0 x0 y0 y0
va, ta’rifga asosan, funksiya M(x,y) nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Ammo teskari tasdiq umuman olganda o‘rinli emas, ya’ni funksiyani biror M(x,y) nuqtada uzluksiz ekanligidan uni bu nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi kelib chiqmaydi.
Masalan, f(x,y)=|x|(y+1) funksiyani O(0,0) nuqtada qaraymiz. Bu nuqtada uning to‘la orttirmasini uchun

f  f (0 x,0 y)  f (0,0) xy  lim f  lim xy  0
x0 x0 y0 y0
tenglik o‘rinli ekanligidan funksiyani uzluksizligi kelib chiqadi. Endi bu nuqtada funksiyaning x bo‘yicha xususiy orttirmasini qaraymiz:

_x f  f (0  x,0)  f (0,0)  f (x,0)  x .
Bu yerdan ko‘rinadiki, O(0,0) nuqtada funksiyaning x bo‘yicha xususiy hosilasi mavjud emas, chunki ∆x→0 bo‘lganda |∆x|/∆x nisbatning limiti mavjud emas. Demak, O(0,0) nuqtada funksiya uzluksiz, ammo differensiallanuvchi emas.
Yuqorida isbotlangan 2-teoremadan ushbu natija kelib chiqadi.
NATIJA: Agar z=f(x,y) funksiyaning f_x , f_y xususiy hosilalari M(x,y) nuqta va uning biror atrofida aniqlangan hamda uzluksiz bo‘lsa, unda bu funksiya M(x,y) nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Haqiqatan ham bu shartlarda funksiya M(x,y) nuqtada differensiallanuvchi va shu sababli uzluksiz bo‘ladi.
Endi to‘la differensialning tatbig‘iga doir bir masalani qaraymiz. Buning uchun yuqoridagi (12) tenglikda z=f(x,y) funksiyaning x va y argument orttirmalari kichik sonlardan iborat deb olamiz. Bu holda bu tenglikda γ₁x+γ₂y qo‘shiluvchi ham kichik son bo‘ladi. Shu sababli (12) tenglikda bu qo‘shiluvchini hisobga olmasak, undan quyidagi taqribiy tengliklar kelib chiqadi:

f  df  f (x  x, y  y)  f (x, y)  f (x, y) dx  f (x, y) dy 
x y
f (x  x, y  y)  f (x, y) _ ^{f (x, y)} _x _ ^{f (x, y)} _y . (15)
x y
Bu formuladan foydalanib, z=f(x,y) funksiyaning hisoblash uchun “noqulay” bo‘lgan N(x+x, y+y) nuqtadagi qiymati uning hisoblash uchun “qulay” bo‘lgan M(x,y) nuqtadagi qiymati yordamida taqriban topilishi mumkin.

Misol sifatida f (x, y)  x²  y² funksiyaning N(2.98, 4.03) nuqtadagi
_{qiymatini, ya’ni} 2.98²  4.03² ildizni taqribiy qiymatini topamiz. Bunda “qulay” nuqta M(3,4) bo‘ladi, chunki unda funksiyaning qiymati oson hisoblanadi va f(3,4)=5 bo‘ladi. Bu holda ∆x=2.98–3=–0.02, ∆y=4.03–4= 0.03 va y4y4
2x 68
f_x(3,4)  _{2 y2 x3}  5 1.2, f_y(3,4)  _x3  ₅ 1.6 .
_{x }
Bu natijalarni (15) taqribiy formulaga qo‘yib,
f (2.98,4.03)  2.98²  4.03² 51.2(0.02) 1.60.035.024 ekanligini topamiz. Bu ildizning uch xona aniqlikdagi qiymati 5.012 ekanligidan olingan taqribiy natijaning aniqligi haqida tasavvur hosil qilishimiz mumkin.