|
Mustaqil ish topshiriqlari
1.
Ushbu ikki o‘zgaruvchili funksiyalarning to‘la differensiallarini toping:
a
)
f
(
x
,
y
)=
x
n
∙
n
y
+cos
nx
;
b
)
.
2.
To‘la differensial yordamida
funksiyaning
M
(0.05, 0.9) nuqtadagi
taqribiy qiymatini hisoblang.
3.
Berilgan ikki o‘zgaruvchili
f
(
x
,
y
) funksiyalarning II tartibli differensiallarini aniqlang:
a
)
;
b
)
.
MAVZU: IKKI O’ZGARUVCHILI FUNKSIYA EKSTREMUMI,
EKSTREMUM BO’LISHINING ZARURIY VA YETARLI SHARTI.
SHARTLI EKSTREMUM LAGRANJ KO’PAYTUVCHILAR USULI VA
UNING EKSTREMAL MASALALARNI YECHISHGA TADBIQI.
Misol sifatida,
f
(
x
,
y
) =
x
2
+
xy
+
y
2
–3
x
– 6
y
funksiyani ekstrеmumga tekshiramiz. Bu holda
bo‘lib, ulardan tuzilgan
tenglamalar sistemasidan
M
0
(0,3) kritik nuqtani topamiz. Bu yerda
bo‘lgani uchun
A=
2 ,
B
=1 ,
C=
2 va ∆=
AC–B
2
=3 ekanligini ko‘ramiz.
Bunda ∆>0 ,
A
>0 va shu sababli,ekstremumning yetarli shartiga asosan, bu funksiya
M
0
(0,3) kritik
nuqta lokal minimumga ega va
f
min
=f
(0,3)=3
2
–18=–9 bo‘ladi.
Ikki o‘zgaruvchili funksiya lokal ekstremumiga doir ushbu iqtisodiy mazmunli masalani qaraymiz.
1
)
0
,
0
(
1
)
,
0
(
)
,
0
(
xy
xy
x
f
y
f
y
y
f
1
)
0
,
0
(
yx
f
xy
n
y
y
nx
y
x
f
2
2
)
,
(
n
y
x
y
x
f
2
2
)
,
(
)
(
)
,
(
n
n
y
x
xy
y
x
f
ny
x
y
nx
y
x
f
)
,
(
6
2
)
,
(
,
3
2
)
,
(
x
y
y
x
f
y
x
y
x
f
y
x
0
6
2
0
3
2
y
x
y
x
2
)
,
(
,
1
)
,
(
,
2
)
,
(
y
x
f
y
x
f
y
x
f
yy
xy
xx
Masala:
Ishlab chiqarish funksiyasi pul birligida ifodalanib,
ko‘rinishga ega.
Bunda
x
–I xomashyo ,
y
–II xomashyo birliklari miqdorini ifodalaydi. I xomashyo bir birligining qiymati
– 5, II xomashyoniki esa–10 pul birligiga teng. Bu xomashyolardan foydalanish natijasida erishiladigan
foydaning maksimal qiymatini toping.
Yechish:
Bizga ma’lumki, ishlab chiqarish funksiyasi
f
(
x
,
y
) xomashyolardan foydalanish natijasida
olingan daromadni ifodalaydi. Bunda, masala shartiga asosan, xomashyolar uchun qilingan xarajatlar
g
(
x
,
y
)=5
x
+10
y
ikki o‘zgaruvchili funksiya orqali topiladi. Shu sababli xomashyolardan foydalanish
natijasida olingan foyda ushbu
F
(
x
,
y
)=
f
(
x
,
y
)–
g
(
x
,
y
)=30
x
1/2
y
1/3
–5
x
–10
y
ikki o‘zgaruvchili funksiya orqali aniqlanadi. Bu funksiyani yuqorida ko‘rsatilgan algoritm bo‘yicha
ekstremumga tekshiramiz. Bu yerda xususiy hosilalar
.
Bu xususiy hosilalarni nolga tenglashtirib, ushbu tenglamalar sistemasiga kelamiz va uni yechamiz:
.
Demak,
M
0
(81,27) kritik nuqta bo‘ladi. Bu kritik nuqtani II tartibli hosilalar yordamida tekshiramiz:
.
Bu kritik nuqtada ∆>0,
A
<0 bo‘lgani uchun unda foydani ifodalovchi
F
(
x
,
y
) funksiya maksimumga ega
bo‘ladi maksimal foyda qiymati pul birligida
bo‘ladi.
3.1.
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning shartli ekstrеmumlari
. Oldingi qismda
z
=
f
(
x
,
y
)
funksiyani ekstremumga tekshirishda uning
x
va
y
argumentlari butun
D
{
f
} aniqlanish sohasida qaralgan
edi. Ammo bir qator masalalarni yechishda
x
va
y
argumentlarni faqat ma’lum bir shartni
qanoatlantiradigan qiymatlarida funksiya ekstremumini topishga to‘g‘ri keladi.
Masalan, perimetri 2
p
bo‘lgan barcha to‘g‘ri to‘rtburchaklar orasidan yuzi eng katta bo‘lganini topish
masalasini qaraymiz. Agar to‘g‘ri to‘rtburchak tomonlarini
x
va
y
deb olsak, bu masala
S
(
x
,
y
)=
xy
6
2
3
30
)
,
(
y
x
y
x
f
10
10
)
,
(
,
5
15
)
,
(
3
/
2
2
/
1
3
/
1
2
/
1
y
x
y
x
F
y
x
y
x
F
y
x
27
81
9
1
3
3
1
1
3
3
/
2
3
/
2
3
/
1
3
/
1
2
/
1
3
/
2
2
/
1
3
/
1
2
/
1
y
y
x
y
y
y
x
y
x
y
x
,
162
5
3
9
1
2
15
)
27
,
81
(
2
15
)
,
(
3
3
/
1
2
/
3
xx
xx
F
A
y
x
y
x
F
,
81
5
9
1
9
1
5
)
27
,
81
(
5
)
,
(
)
,
(
3
/
2
2
/
1
xy
yx
xy
F
B
y
x
y
x
F
y
x
F
,
81
20
243
1
9
3
20
)
27
,
81
(
3
20
)
,
(
3
/
5
2
/
1
xx
xx
F
C
y
x
y
x
F
0
)
81
5
(
81
25
50
)
81
5
(
)
81
20
)(
162
5
(
2
2
2
2
B
AC
135
27
10
81
5
3
9
30
)
27
,
81
(
F
funksiyaning uning argumentlari 2(
x+y
)=2
p
yoki
x+y=p
shartni qanoatlantirganda, ya’ni
y=–x+p
tenglamali to‘g‘ri chiziqda yotganda, ekstremumini topish masalasiga keladi. Bu masala yechimini
quyidagicha topamiz:
.
Shunday qilib, bu masalani yechish uchun
x
va
y
argumentlarga qo‘yilgan shartdan foydalanib, ikki
o‘zgaruvchili
S
(
x
,
y
) funksiyadan bir o‘zgaruvchili
g
(
x
) funksiyaga o‘tdik va uni ekstremumga tekshirdik.
Bu yerda
g
′′(
x
)=–2<0 bo‘lgani uchun
g
(
x
) funksiya topilgan
x
0
=
p
/2 kritik nuqtada maksimumga ega
bo‘ladi. Demak, perimetri 2
p
bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar orasida eng katta yuzaga tomonlari
x
0
=
p
/2
=>
y
0
=
p–p
/2=
p
/2 bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak, ya’ni kvadrat erishadi va bu yuza qiymati
S
=
p
2
/4 bo‘ladi.
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
2
x
g
x
px
x
p
x
y
x
S
x
p
y
xy
y
x
S
4
)
2
(
2
)
(
2
0
2
)
(
2
2
0
0
p
p
p
p
x
g
p
x
x
p
x
g
Do'stlaringiz bilan baham: |
