|
karrali limit
deb yuritiladi. Ammo bu yerda
x
yoki
y
argumentlarni u yoki bu tartibda
x
0
yoki
y
0
sonlariga ketma-ket yaqinlashtirib,
2
2
2
)
,
(
y
x
xy
y
x
f
0
lim
)
,
(
lim
2
2
)
,
(
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
y
x
xy
y
x
f
y
y
x
xy
y
x
xy
y
x
f
y
x
y
x
2
2
)
,
(
y
x
xy
y
x
f
2
2
2
2
2
0
2
2
0
0
0
0
1
lim
lim
)
,
(
lim
k
k
x
k
x
kx
y
x
xy
y
x
f
x
y
x
y
x
2
4
2
)
,
(
y
x
y
x
y
x
f
0
lim
lim
lim
)
,
(
lim
2
2
0
2
2
4
3
0
2
4
2
0
0
0
0
k
x
kx
x
k
x
kx
y
x
y
x
y
x
f
x
x
y
x
y
x
2
4
2
4
4
0
2
4
2
0
0
0
0
1
lim
lim
)
,
(
lim
k
k
x
k
x
kx
y
x
y
x
y
x
f
x
y
x
y
x
A
y
x
f
y
y
x
x
)
,
(
lim
0
0
limitlarni ham hosil etish mumkin. Bular
takroriy limitlar
deb ataladi va ularni hisoblash
osonroq.
4-misol.
f
(
x
,
y
)=3
x
+5
xy
–
y
2
funksiyaning
x→
2,
y→–
3 holdagi takroriy limitlarini qaraymiz :
,
.
Demak, bu funksiya uchun ikkala takroriy limit mavjud va ular o‘zaro teng.
5-misol.
Ushbu funksiyaning
x→
0,
y→
0 holdagi takroriy limitlarini hisoblaymiz:
.
,
.
Demak, bu funksiya uchun ikkala takroriy limit mavjud, ammo ular o‘zaro teng emas.
MAVZU. XUSUSIY HOSILALAR. TO'LA DIFFERENTSIAL.IKKI
O’ZGARUVCHILI FUNKSIYANING YUQORI TARTIBLI HOSILALARI.
Bir o‘zgaruvchili funksiya
M
0
(
x
0
) nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, unda bu nuqtada uzluksiz bo‘lar
edi. Ammo ikki o‘zgaruvchili funksiyaning
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtada
xususiy hosilalari
mavjudligidan uni bu nuqtada uzluksizligi har doim ham kelib chiqmaydi.
Masalan,
funksiya O(0,0) nuqtada uzlukli (§1, (7) ga qarang) ekanligini ko‘rgan edik.
Ammo
f
(
x
,0)≡0 va
f
(0,
y
)≡0 bo‘lgani uchun bu funksiyaning O(0,0) nuqtada ikkala
xususiy hosilalari mavjud va
,
bo‘ladi.
Berilgan
z
=
f
(
x,y
) funksiyaning
2
,
1
)
,
(
lim
lim
)
,
(
lim
lim
0
0
0
0
A
y
x
f
A
y
x
f
x
x
y
y
y
y
x
x
1
2
2
3
2
3
2
33
)
9
15
3
(
lim
)
5
3
(
lim
lim
)
,
(
lim
lim
A
x
x
y
xy
x
y
x
f
x
y
x
y
x
2
2
3
2
2
3
2
3
33
)
10
6
(
lim
)
5
3
(
lim
lim
)
,
(
lim
lim
A
y
y
y
xy
x
y
x
f
y
x
y
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
f
2
2
)
,
(
1
0
2
0
2
2
0
0
0
0
1
)
1
(
lim
lim
lim
lim
)
,
(
lim
lim
A
x
x
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
f
x
x
y
x
y
x
2
2
0
2
2
0
0
0
0
1
lim
lim
lim
)
,
(
lim
lim
A
y
y
y
y
x
y
x
y
x
y
x
f
y
x
y
x
y
y
x
f
f
,
0
,
0
,
0
,
)
,
(
2
2
2
2
2
2
y
x
y
x
y
x
xy
y
x
f
0
)
0
,
0
(
x
f
0
)
0
,
0
(
y
f
y
f
y
z
x
f
x
z
,
xususiy hosilalari mavjud bo‘lsin. Bu holda ular
х
vа
у
o‘zgaruvchilarning funksiyalari
bo‘ladi va shuning uchun ulardan yana xususiy hosilalar olish mumkin. Agar bu xususiy
hosilalar mavjud bo‘lsa, unda
z
=
f
(
x,y
) funksiyaning
х
vа
у
argumentlari bo‘yicha
II tartibli xususiy hosilalari
,
esa
z
=
f
(
x,y
) funksiyaning
II tartibli aralash hosilalari
deyiladi. Shunday qilib jami 4 ta II
tartibli hosilalarga ega bo‘lamiz.
Masalan,
funksiyaning I tartibli xususiy hosilalari
bo‘lgani uchun uning II tartibli hosilalari quyidagicha bo‘ladi:
Yana bir misol sifatida yuqorida ko‘rib o‘tilgan
funksiyaning II tartibli hosilalarini topamiz:
Bu misollarda II tartibli aralash hosilalar o‘zaro teng, ya’ni
ekanligini ko‘ramiz.
Ammo bu tenglik barcha funksiyalar uchun o‘rinli bo‘lishi shart emas. Masalan, ushbu
funksiyani qaraymiz:
Bu funksiyani
x
bo‘yicha xususiy hosilasini hisoblab, quyidagi natijani olamiz:
Bu yerda
x
=0 deb,
yy
xx
f
y
f
y
f
y
f
x
f
x
f
x
2
2
2
2
)
(
,
)
(
yx
xy
f
x
y
f
y
f
x
f
y
x
f
x
f
y
2
2
)
(
,
)
(
4
3
5
3
2
y
x
y
x
z
,
3
3
)
4
3
5
3
(
,
5
6
)
4
3
5
3
(
2
2
2
x
y
x
y
x
f
xy
y
x
y
x
f
y
y
x
x
.
6
)
3
3
(
)
(
,
6
)
5
6
(
)
(
,
0
)
3
3
(
)
(
,
6
)
5
6
(
)
(
2
2
x
x
f
f
x
xy
f
f
x
f
f
y
xy
f
f
x
x
y
yx
y
y
x
xy
y
y
y
yy
x
x
x
xx
)
(
arctg
)
,
(
2
xy
y
x
f
,
)
1
(
6
2
)
1
2
(
,
)
1
(
2
)
1
(
2
4
2
4
3
4
2
2
2
2
4
2
6
4
2
2
2
2
y
x
y
x
x
y
x
xy
y
y
f
y
x
xy
y
x
y
x
x
f
.
)
1
(
2
2
)
1
2
(
,
)
1
(
2
2
)
1
(
2
4
2
5
2
4
2
2
2
4
2
5
2
4
2
2
2
y
x
y
x
y
y
x
xy
x
x
y
f
y
x
y
x
y
y
x
y
y
y
x
f
yx
xy
f
f
0
,
0
,
0
,
)
,
(
2
2
2
2
2
2
2
2
y
x
y
x
xy
y
x
y
x
y
x
f
0
,
0
,
0
,
)
(
)
4
(
)
,
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
f
x
natijaga kelamiz. Xuddi shunday tarzda
ekanligini ko‘rish mumkin. Demak, bu funksiya
uchun O(0,0) nuqtada II tartibli aralash hosilalar o‘zaro teng emas.
Do'stlaringiz bilan baham: |
