Iii. Xulosa IV. Foydalanilgan adabiyotlar

2.2 Liyapunov funksiyasi kvadratik ko’rinishning ba’zi xossalari.

Eslatib o’tamizki agar ochiq D_n to’plamda biror diffirensiyalanuvchi F (x₁,….,x_n) funksiya berilgan bo’lsa, bu funksiyadan (10.2) sistemaga ko’ra t bo’yicha xosila quyidagicha aniqlanadi:(10.2) sistemaning (t₀)=x⁰ boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan yechimini (t)deylik. (10.2) sistemaga ko’ra F _(10.2) (x) xosila

formula bilan aniqlanadi.

Endi

chiziqli bir jinsli normal sistema berilgan bo’lsin.

11.3- Lemma. Agar (11.17) Sistema matritsasining barcha hos sonlari manfiy haqiqiy qismlarga ega bo’lsa, u holda shunday musbat aniqlangan kvadrat ko’rinish W(x) mavjudki bu ko’rinishning (11.17) sistemaga ko’ra t bo’yicha hosilasi ushbu

tengsizlikni qanoatlantiradi, unda x-ixtiyoriy vektor, -musbat va x ga bogliq, bo’lmagan haqiqiy son.

Isbot. Lemmaning isboti tegishli shartlarni qanoatlantiradigan ko’rinishni ko’rishdan iborat. (11.17) sistemaning 0, £ boshlang’ich qiymatlarga ega bo’lgan yechimini deylik. U xolda 11.5-teoremadan ma'lumki, ni bunday yozsa buladi:

bunda ⁽ⁱ⁾ (t) vektor 11.5-teoremada kurilgan vektor.

Ushbu

xosmas integralni ko’raylik. Uning yaqinlashuvchi ekanini ko’rsatamiz. (11.19) munosabatdan foydalanib, (11.20) integralni

k o’rinishda yozish mumkin. Har bir _k ( ) , k=1,2,…., n funksiya 11.5-teoremaga ko’ra tengsizlikni qanoatlantirgani uchun (11.21) ifodadagi har bir xosmas integral yaqinlashuvchi. Demak (11.20) xosmas integral ham yaqinlashuvchi W ( ) bilan belgilaylik:

W ( ) funksiya (11.21) ga ko’ra ₁,…………. _n o’zgaruvchilarning kvadratik ko’rinishidir .Shu kvadratik ko’rinish musbat aniqlangan , chunki (11.22) formulada integral ostidagi ifoda 0 uchun musbat. Demak W ( ) > 0. Endi ushbu W_(11.17) ( ) hosilani hisoblaymiz. Avval W ( (t, )) funksiyani ko’ramiz. U quyidagicha aniqlanadi : Demak,

gruppalash xossasiga ko’ra

D emak,

(11.14) tengsizliklardan ikkinchisini olamiz:

Bundan Shunday qilib,

Demak, (11.18) tengsizlik W ( ) oldida koeffitsient bilan bajariladi.