X, ꚍ topologik fazo, a ⊂ X qism to’plam berilgan bo’lsin. Ikkita ochiq G

Bog’lanishli to’plamlar va ularning xossalari.

Faraz qilaylik (X, ꚍ) topologik fazo, A ⊂ X - qism to’plam berilgan bo’lsin.

Ikkita ochiq G₁ va G₂ qism to’plamlar mavjud bo’lib,

1. 
   A=(A ꓵ G₁) ꓴ (A ꓵ G₂)
   
2. 
   (A ꓵ G₁) ꓵ (A ꓵ G₂) =
   
3. 
   (A ꓵ G₁) ≠ , (A ꓵ G₂) ≠
   

munosabatlar bajarilsa, A to’plam bog’lanishsiz to’plam deyiladi.

Agar bu shartlarni qanoatlantiruvchi G₁ va G₂ ochiq to’plamlar mavjud bo’lmasa, A to’plam bog’lanishli to’plam deyiladi.

Berilgan A to’plam uchun A = X holni qaraylik. Bu holda X ꓵ G₁= G₁ ,

X ꓵ G₂= G₂ bo’lganligi uchun yuqoridagi shartlar quyidagi ko’rinishda yoziladi.

1¹) X = G₁ ꓴ G₂

2¹) G₁ ꓵ G₂ =

3¹) G₁ ≠ , G₂ ≠

Demak, agar 1¹), 2¹), 3¹) shartlarni qanoatlantiruvchi ochiq G₁ va G₂ qism to’plamlar mavjud bo’lsa, X fazoni bog’lanishsiz topologic fazo deb ataymiz. Aks holda, ya’ni bu 1¹), 2¹), 3¹) shartlarni qanoatlantiruvchi G₁, G₂ to’plamlar mavjud bo’lmasa, X fazoni bog’lanishli topologik fazo deb ataymiz.

Teorema 1. Bog’lanishli to’plamning yopig’i ham bog’lanishli to’plamdir.

Isbot. Faraz qilaylik ( X, ꚍ ) –topologik fazoda bog’lanishli A ⊂ X qism to’plam berilgan bo’lsin. Agar Ᾱ bog’lanishsiz to’plam bo’lsa, ochiq G₁ va G₂ qism to’plamlar mavjud bo’lib, quyidagi

Ᾱ = ( G₁ ꓵ Ᾱ ) ꓴ ( G₂ ꓵ Ᾱ )

( G₁ ꓵ Ᾱ ) ꓵ ( G₁ ꓵ Ᾱ ) =

G₁ ꓵ Ᾱ = , G₂ ꓵ Ᾱ ≠

Munosabatlar bajariladi. To’plam yopig’I aniqlanishiga ko’ra A ⊂ Ᾱ munosabat o’rinli bo’lganligi uchun

(G₁ ꓵ Ᾱ ) ꓵ A = G₁ ꓵ A , ( G₂ ꓵ Ᾱ ) ꓵ A = G₂ ꓵ A , A = ( G₁ ꓵ A ) ꓴ ( G₂ ꓵ A ) tengliklar o’rinlidir.

Bu yerda G₁ va G₂ ochiq to’plamlar , G₁ ꓵ Ᾱ ≠ , G₂ ꓵ Ᾱ ≠ bo’lganligidan , G₁ ꓵ A ≠ va G₂ ꓵ A ≠ munosabatlar kelib chiqadi va nihoyat ( G₁ ꓵ Ᾱ ) ꓵ ( G₂ ꓵ Ᾱ ) = tenglikdan ( G₁ ꓵ A ) ꓵ ( G₂ ꓵ A ) = tenglik kelib chiqadi. Bu munosabatlar birgalikda A to’plamining bog’lanishsiz to’plam ekanligini ko’rsatadi. Bu ziddiyatdan Ᾱ to’plamining bog’lanishli ekanligi kelib chiqadi.

Teorema 2. Bizga bog’lanishli to’plamlar oilasi berilgan bo’lib , ularning umumiy qismi bo’sh bo’lmasa , ya’ni ≠ ∅ bo’lsa A = to’plam ham bog’lanishli to’plamdir.

Isbot . Faraz qilaylik A to’plam bog’lanishsiz bo’lsin. Bog’lanishsiz to’plam ta’rifiga ko’ra shunday ochiq G₁ va G₂ to’plamlar mavjudki,

A= ( G₁ ꓵ A ) ꓴ ( G₁ ꓵ A )

( A ꓵ G₁ ) ꓵ ( A ꓵ G₂ ) = ∅

A ꓵ G₁ ≠ ∅ , A ꓵ G₂ ≠ ∅

munosabatlar o’rinlidir.

Birinchi munosabatdan ixtiyoriy a uchun Aₐ = ( Aₐ ꓵ G₁ ) ꓴ ( Aₐ ꓵ G₂ )

tenglik kelib chiqadi. Undan tashqari, ikkinchi munosabatdan va Aₐ ⊂ A ekanligidan (Aₐ ꓵ G₁ ) ꓵ ( Aₐ ꓵ G₂ ) = ∅ tenglik kelib chiqadi.

Demak, Aₐ = ( Aₐ ꓵ G₁ ) ꓴ ( Aₐ ꓵ G₂ ) va Aₐ bog’lanishli bo’lganligi uchun A ꓵ G₁ = ∅, A ꓵ G₂ = ∅ tengliklardan birortasi o’rinlidir.

Agar birorta a₀ uchun A_a₀ ꓵ G₁ = ∅ bo’lsa unda A_a₀⊂ G₂ bo’ladi. Lekin munosabatdan hamma a lar uchun A_a ⊂ G₂ ekanligi kelib chiqadi. Bundan esa A ꓵ G₁ = ∅ tenglikni hosil qilamiz. Bu qarama- qarshilik teorema isbotini yakunlaydi.

Endi agar x ϵ X bo’lsa, H bilan x nuqta tegishli bo’lgan hamma bog’lanishli to’plamlar yig’indisini belgilaylik. Bu to’plamlarning hammasiga x tegishli bo’lganligi uchun, quyidagi teorema sharti bajariladi: ’’ Xausdorf fazosida har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik yagona limitga egadir. ’’

Demak, H bog’lanishli to’plamdir. Bu H to’plamni x tegishli bo’lgan bog’lanishlilik komponentasi deb ataymiz. Aniqlanishiga ko’ra H to’plam x tegishli bo’lgan bog’lanishli to’plamlarning eng kattasidir.

Teorema 3. Bog’lanishlilik komponentasi yopiq to’plamdir.

Isbot. Faraz qilaylik H to’plam x nuqta tegishli bo’lgan bog’lanishlilik komponentasi bo’lsin. ’’ Metrik fazo to’liq metrik fazo bo’lishi uchun undagi har qanday ichma-ich joylashgan va radiuslari nolga intiluvchi sharlar ketma-ketligi umumiy nuqtaga ega bo’lishi zarur va yetarlidir. ’’ teoremaga ko’ra bog’lanishli to’plamdir. Komponenta ta’rifiga ko’ra x ϵ munosabatdan H = tenglik kelib chiqadi. Demak, H yopiq to’plamdir.