Iii. Xulosa IV. Foydalanilgan adabiyotlar

REJA:

I.KIRISH

II.ASOSIY QISM

2.1. Turg’unlik haqida tushuncha

2.2. Liyapunov funksiyasi kvadratik ko’rinishining ba’zi xossalari

a) Liyapuno-Puanke teoremasi

b) Yechimning turg’unligi

c) Muxtamas Sistema yechimining turg’unligi

2.3. Iqtisodiy jarayonlarning ikki sektorli modeli haqida

2.4 Limit davralar. Ergash funksiya

III. XULOSA

IV. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

2.1. Turg’unlik haqida tushuncha

Oddiy differentsial tenglama-larni integrallashning elementar usullari XVIII asrda o'z ravnaqini topgan klassik matematik analizdan meros bo'lib koldi. Tenglamalarni kvadraturalarda integrallash bilan shug'ulla-nish I. Nьyuton, G. Leybnits ishlaridan boshlanib, XIX asrning ikkinchi yarmida S. Li ishlari bilan yakunlandi. XIX asrning birinchi yarmida differentsial tenglamalarning umumiy nazariyasi, so'ngra differentsial tenglamalarni taqribiy integrallash usullari rivojlantirildi. Bu borada Pikarning ketma-ket yaqinla-shish usulidan keng foydalanildi. Amaliy matematikaning zarurati bilan yaratilgan taqribiy integrallash usullari mutaxassislarni qanoatlantirmas edi, chunki har bir Koshi masalasi bitta nuqtadan o'tadigan integral chiziqni taqribiy yasashdan iborat bo'lib, yangi nuqta uchun hisoblashlarni takrorlashga to'g'ri kelar edi. Shuning uchun ham bu usul bilan differentsial tenglamalarning umumiy nazariyasini rivojlantirish mumkin emas edi.

XIX asrning oxirlarida differentsial tenglamalarning umumiy nazariyasini ravojlantirish yo'lida yangi usullar yaratildi. Bu usullar birgalikda «differentsial tenglamalarning sifat naza-riyasi» deb atalib, A. Puankare, A. M. Lyapunov nomi bilan chambarchas bog'langan. A. Puankare normal differentsial tenglama-ni (sistemani) integrallamasdan, uning o'ng tomoniga qarab integral chiziqlarning xossalarini o'rganishdek umumiy masalani o'rtaga tashladi. Bu masala differentsial tenglamalar sifat nazariyasining asosiy masalasi hisoblanadi. Differentsial tenglamalarning sifat nazariyasi juda keng bo'lib, biz harakatning turg'unligi masalasinigina o'rganamiz.

Turg'unlik tushunchasi hayotda har qadamda uchraydi, masalan, velosipedchi harakatini olaylik, u harakati davomida yiqilmaslik uchun rulni goh chapga, goh o'ngga burib turishga majbur bo'ladi. Shunga o'xshash, dorboz arqon ustida yurayotganda o'z muvozanatini saqlash uchun qo'lidagi langar cho'pini qimirlatib turadi.

Har ikki misolda bayon etilgan jarayon ham turg'unlik tushunchasi bilan bog'langan bo'lib, harakat birida velosiped ruli bilan, ikkinchisida langar cho'p bilan boshqarilib turadi. Agar shu boshqarish bo'lmasa, velosipedchi ham, dorboz ham albatta yiqiladi .

Velosipedchi va dorbozning harakati differentsial tenglama bilan ifodalanishi mumkin, shuningdek, ko'plab qurilmalarning (mashinalartsing, asboblarning va boshqalarning) ishi ham diffe-rentsial tenglamalar bilan tavsiflanadi.

Hamma holda ham ma'nosi bo'yicha o'sha tenglamalar cheksiz ko'p yechimga ega bo'lsa-da, tegishli jarayon biror bitta yechimga mos keladi. Unda mos jarayonni rejim deb yuritiladi. Garchi boshlang'ich qiymatlar shu rejimga mos keltiasa-da, jarayon yetarli uzoq davom etsa, boshlang'ich qiymatlar o'z mavqeini yo'qotadi va qurilma o'z ishini ma'lum rejimga tushirib oladi. Bu rejimni statsionar rejim deyiladi.

Misol sifatida skalyar x = f{x) tenglama uchun muvozanat holatining turg'unligini, ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli sistemalardagi turg'un, turg'un fokus va turg'un tug'ilma hollarni keltirish mumkin. Bundan tashqari, biz quyida matematik mayatnik va soat mayatnigi harakatlarini shu nuqtai nazardan tushuntiramiz.

Matematik mayatnik quyidagidan iborat: massasi t ga teng bo'lgan P nuqta o'z og'irlik kuchi ta'sirida l radiusli K aylana yoyi bo'ylab harakat qiladi, bu aylana vertikal tekislikda joylashgan. l — mayatnikning uzunligi deyiladi. K aylanada koordinata kiritamiz, uning eng pastki nuqtasini koordinata boshi deb hisoblaymiz. P nuqtaning o'zgaruvchi koordinatasini =(t), (t₀) = ₀ 0< ₀≤ π deb belgilaymiz. Shu nuqta F=mg — og'irlik kuchi ta'sirida bo'ladi. Ma'lumki, F=mg kuch vertikal yo'nalgan. Bu kuchni ikki tashkil etuvchiga ajratish mumkin: biri K aylana normali bo'yicha yo'nalgan bo'lib, ikkinchisi aylana urinmasi bo'ylab yo'nalgan. Oxirgi tashkil etuvchi — mgsin (bunda musbat yo'nalish burchagining o'sishiga mos qilib olinadi). Agar ishqalanish va havoning qarshiligi hisobga olinmasa, matematik mayatnik tengla-masi Nyuton konuniga asosan quyidagicha (1-chizma) yoziladi:

ml =-mgsin

yoki (1)

l + g sin = 0

Bu ikkinchi tartibli chiziqli bo'lmagan differentsial tenglamadan iborat. Yangi o'zgaruvchilarni kiritib, uni ikkinchi tartibli normal muxtor sistema ko’rinishida yozaylik ( = ₁ = ₂)

(2)

(2) sistemaning muvozanat holati

(3)

(3) englamalardan aniklanadi. Shu (1.3) sistemaning yechimlari (k,π 0) (k — butun ston) ko‘rinishda bo‘ladi. Agar k = 0, k=1 bo‘lsa, biz ushbu

(0,0) va ( 0,π)

ikki muvozanat holatiga (nuqtasiga) ega bo‘lamiz. Ulardan birinchisi mayatnikning eng quyi Ro holatiga (koordinata boshi), ikkinchisi eng yuqori Rp holatiga mos keladi (1-chizma). Nazariy