Iii bob. Vektor fazo

Bir jinsli tenglamalar sistemasini yechish.

Ushbu mavzuda chiziqli tenglamalar sistemasini umumiy yechimini topish usulini beramiz. Dastlab, bir jinsli tenglamalar sistemasini qaraymiz.

Bizga quyidagi chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasini berilgan bo‘lsin:

Ma’lumki, ushbu sistemaning matritsasini va matritsaning ustunlarini deb olsak, sistemani

yoki

_{ham bu sistemaning echimi boʻladi. Demak chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining echimlari toʻplami chiziqli fazo tashkil qiladi.}

ko‘rinishlarda ham yozish mumkin, bu yerda noma’lumlardan iborat bo‘lgan ustun vektor.

1-tasdiq. Agar ustunlar bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi bo‘lsa, u holda ularning ixtiyoriy chiziqli kombinatsiyasi ham yechim bo‘ladi.

2-teorema. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining ixtiyoriy yechimi ta chiziqli erkli yechimlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘ladi, bu yerda noma’lumlar soni, .

Misol.

Bu bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining matrisasini tuzib olamiz

y’ni n=3 bo’lgani uchun cheksiz ko’p yechimga ega. Birinchi ustun ravishda , ikkinchi ustun va uchinchi ustun no’malumlarga mos keladi. U holda birinchi satr quyidagicha yoziladi:

bu tenglamadan ni topamiz

Shunday qilib javob: .

Masalan bo’lsa, u holda yechim: ga teng bo’ladi. Bunday yechimdan cheksiz ko’p olish mumkin.
Mustahkamlash uchun savоllar

1. 
   Vektor fazo deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Chiziqli bog‘liq vektorlar deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   Chiziqli erkli vektorlar deb nimaga aytiladi?
   
4. 
   Vektor fazoning o‘lchami deb nimaga aytiladi?
   
5. 
   Chiziqli fazoda elementlarning chiziqli kombinatsi qanday aniqlaydi?
   
6. 
   Bir jinsli tenglamalar sistemasini qanday yechiladi?