Iii bob. Oddiy differensial tenglamalarga qo`yilgan aralash masalani sonli yechish

3.2-§. Almashtirish samarasini hisoblash, daromad samarasini hisoblash
Agar tenglama (3.1) Gauss metodi bilan yechilsa, bunda arifmetik amallar sarflanadi, bunda N formula (3.1) dagi tenglamalar soni. Endi progonka metodida kiritilgan almashtirish (3.2) ning samarasi tufayli olingan hisoblash formulalarining samarasini hisoblaymiz:

ni hisoblashda, ni e’tiborga olgan holda taxminan ~ ta arifmetik amal talab qilinadi (bitta ayirish, bitta ko`paytirish va bitta bo`lish, ular i ning har bir qiymatida bajariladi), ni hisoblash uchun ham ~ arifmetik amal talab qilinadi (bitta ko`paytirish, bitta qo`shish, bitta bo`lish, ular i ning har bir qiymatida bajariladi), uchun formula i dan bog`liq emas, shu sababli u bir marta hisoblanadi, uni inobatga olmaslik mumkin, ni hisoblashda ~ arifmetik amal talab qilinadi (bitta ko`paytirish, bitta qo`shish, ular i ning har bir qiymatida bajariladi). Shunday qilib, ni hisoblash uchun ~ ta, ni hisoblash uchun ~ ta va ni hisoblash uchun ~ ta arifmetik amal, hammasi bo`lib progonka metodini qo`llash natijasida

arifmetik amal talab qilinadi, bu amallar soni Gauss metodidagi arifmetik amallar soni ga nisbatan juda kichik bo`ladi.
Endi progonka metodining daromad samarasini hisoblaymiz. Metodning formulalarini qo`llab kompyuterda hisoblashlar olib borish taqribiy, chekli qiymatga ega bo`lgan raqamlar bilan olib boriladi. Yaxlitlash xatoliklari tufayli masala (3.1) ning yechimi emas, balki aynan shu masalaning o`zgargan koeffisientlar , va o`zgargan o`ng tomon bilan olingan yechimi topiladi. Shunday tabiiy savol tug`iladi: hisoblashlar jarayoni mobaynida yaxlitlash xatoliklari ortib ketib, aniqlikning yo`qolishiga olib kelmaydimi, hamda olinadigan miqdorlardagi xatoliklarning o`sishi evaziga kelgusida hisoblashlarni olib borish mumkin bo`lmay qolmaydimi?
Ushbu savolni aniqlashtirishni misolda ko`rib o`tamiz. To`r funksiyasi ni, formula bo`yicha da aniqlaylik. Ushbu formuladan ketma-ket foydalanish natijasida formulaga ega bo`lamiz. Ixtiyoriy uchun, shunday ni ko`rsatish mumkinki, unda mashinaviy cheksizlikka aylanadi, ya’ni ni aniqlashda kompyuterda avost (avariyali to`xtash) sodir bo`ladi. Bu holda, yaxlitlash xatoliklari evaziga emas, balki quyidagi tenglamadan aniqlangan

to`r funksiyasi hisoblanadi, bu yerda –yaxlitlash xatoligi. Bundan kelib chiqadiki, xatolik uchun ushbu tenglamaga ega bo`lamiz
.
Ushbu formuladan ketma-ket foydalanib

ya’ni

formulani hosil qilamiz. Bu formuladan ko`rinadiki, xatolik bo`lganda i ning o`sishi bilan eksponensial ravishda o`sadi.
Endi progonka metodiga qaytamiz va shart bajarilganda ni topishda yo`l qo`yilgan , ni hisoblashda ortib ketmasligini ko`rsatamiz. Haqiqatan ham, ushbu tenglamalardan

ularning ikkinchisidan birinchisini ayirish orqali quyidagi tenglamaga kelamiz

bundan

ya’ni

bo`ladi, chunki .
Agarda hisoblash jarayonida koeffisientlar ham xatolik bilan hisoblanishini e’tiborga olsak, ko`rsatish mumkinki, masala (3.1) dan ni topish xatoligi to`r tugunlari sonining kvadratiga proporsional bo`lar ekan

bu yerda –yaxlitlash xatoligi. Bundan ko`rinadiki, masalaning yechimini topish aniqligi va tenglamalar soni N hamda kompyuterda ahamiyatli raqamlar soni o`rtasida bog`liqlik mavjud

bu yerda va yuqorida, taqribiy tenglik belgisi dan bog`liq bo`lmagan ko`paytuvchi aniqligi tartibida bo`lgan miqdorni anglatadi.