Iii bob. Oddiy differensial tenglamalarga qo`yilgan aralash masalani sonli yechish

III BOB. ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALARGA QO`YILGAN ARALASH MASALANI SONLI YECHISH

Ushbu bobda oddiy differensial tenglamalarga qo`yilgan aralash masalani sonli yechish metodi qaraladi. Metodni qo`llashdagi umumiy samara: almashtirish samarasi va daromad samarasi, almashtirish samarasi va daromad samarasini hisoblash, almashtirish samarasining ishorasini aniqlash bayon qilinadi.

3.1-§. Umumiy samara: almashtirish samarasi va daromad samarasi
Oddiy differensial tenglamalarga qo`yilgan aralash masalani sonli yechishga imkon beradigan metod – bu haydash (progonka) metodi bo`lib hisoblanadi. Qaralayotgan masala ayirmali sxemalar bilan diskretlashtirilganda quyidagi uch diagonalli matritsaga ega bo`lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga keltiriladi:
(3.1)
bu yerda barcha lar uchun.
Ushbu sistemani sodda va samarali hisoblash usulini ko`rsatish lozim. Bunda asosiy g`oya ikkinchi tartibli ayirmali tenglamani uchta birinchi tartibli tenglamalarga keltirishdan iborat, umuman olganda ushbu tenglamalar chiziqli bo`lmagan tenglamalardan iborat bo`ladi.
Quyidagi almashtirishni o`rinli deb hisoblaymiz
, (3.2)
bunda va lar no`malum koeffisientlar. Ifoda (3.2) dan olingan formulani tenglama (3.1) dagi o`rniga qo`yib, ushbu tenglamaga ega bo`lamiz
.
Oxirgi tenglamada munosabat (3.2) dan foydalanamiz:
.
Bu tenglama ixtiyoriy lar uchun bajariladi, agarda quyidagi ikkita munosabat o`rinli bo`lsa:

Ularning birinchisidan uchun ushbu rekurrent formulaga ega bo`lamiz:
, (3.3)
hamda ikkinchisidan uchun esa quyidagi rekurrent formula hosil bo`ladi
. (3.4)
Bu formulalarni almashtirish (3.2) dan kelib chiqqan holda aniqladik.
Agarda , koeffisientlar va qiymat ma’lum bo`lsa, u holda o`ngdan chapga tomon harakatlanib ( dan i ga), barcha larni ketma-ket aniqlaymiz. Parametrlar , uchun tenglamalar chiziqli emas, ular funksiyalarning ikkita qo`shni tugunlardagi qiymatlarini o`zaro bog`laydi. Parametrlar , lar uchun masala chapdan o`ngga tomon, uchun esa qarama-qarshi tomonga qarab yechiladi. Har bir funksiyalar uchun Koshi masalasini yechish lozim. Bu funksiyalar uchun boshlang`ich qiymatlarni topish uchun (3.1) dagi chegaraviy shartlardan foydalanamiz. Formula (3.2) indekslarning qiymatlarida o`rinli bo`lganligi uchun, da quyidagi tenglamaga ega bo`lamiz

boshqa tomondan (3.1) ga asosan

ekanligi ma’lum. Shu sababli, ularni tenglashtirib
(3.5)
(3.6)
munosabatlarni aniqlaymiz.
Shunday qilib, va funksiyalar uchun Koshi masalasiga ega bo`lamiz: uchun bu (3.3), (3.5) masala, uchun esa (3.4), (3.6) masala (to`g`ri progonka metodi).
Barcha lar uchun va funksiyalar aniqlangandan keyin chegaraviy qiymat ni topish zarur. U quyidagi tenglamalar sistemasini birgalikda yechish orqali topiladi

Bundan
,
yoki

Agarda bo`lsa, uchun ushbu formulani hosil qilamiz:
. (3.7)
Shunday qilib, ni aniqlash uchun Koshi masalasi (3.2), (3.7) ga ega bo`lamiz (teskari progonka metodi).
Bayon qilingan metod progonka metodi deb ataladi (o`ng progonka metodi).
O`ng progonka metodining barcha formulalarini yig`ib, ularni qo`llanishga qulay ko`rinishda yozamiz:

Harflar ustidagi strelka belgisi hisoblash yo`nalishini ko`rsatadi: ( )– dan ga tomon, ( )– dan ga tomon.
Shunday qilib, almashtirish (3.2) ning samarasi natijasida ikkinchi tartibli ayirmali tenglama uchta birinchi tartibli sodda tenglamaga keltirildi.
Endi progonka metodining daromad samarasini qaraymiz. Yuqorida metodning formulalarini formal ravishda chiqardik. Keltirilgan formulalarning maxrajida va ifodalar mavjud, ularga bo`lish qachon mumkin bo`ladi, ular qanday hollarda noldan farqli bo`ladi. Formulalar (3.3), (3.4) va (3.7) ma’noga ega bo`lishligining yetarlilik shartini ko`rsatamiz. Quyidagi shartlar bajarilganda progonka metodining formulalari ma’noga ega bo`ladi:
(3.8)
Shartlar (3.8) bajarilganda, ushbu tengsizlik barcha lar uchun o`rinli ekanligini ko`rsatamiz. Buning uchun deb faraz qilib, bo`lishini ko`rsatamiz; chunki va bundan, barcha lar uchun bo`lishi kelib chiqadi. uchun yozilgan ifodaning maxraji absolyut miqdori bo`yicha, uning suratining absolyut miqdoridan katta ekanligini ko`rsatamiz.
Buning uchun quyidagi ayirmani qaraymiz
.
Ushbu tengsizlikdan bo`lganligi uchun bo`ladi, ya’ni
.
Bundan ko`rinadiki, bo`ladi, agar bo`lsa; barcha bo`ladi, bo`lganda. Formula (3.7) ning maxrajini quyidan baholaymiz:
,
chunki, shartlar (3.8) ga asosan yoki bo`ladi, ya’ni .
Shunday qilib, formulalar (3.3), (3.4) va (3.7) ning maxrajlari, shartlar (3.8) bajarilganda noldan farqli bo`ladi. Ta’kidlash lozimki, agarda biror-bir nuqtada bo`lsa, u holda bo`ladi, barcha lar uchun, shu jumladan uchun ham: . Bu holda shart ortiqcha bo`lib qoladi, chunki, va da

bo`ladi.
Shunday qilib, shartlar (3.8) bajarilganda masala (3.1) formulalar (3.2)-(3.7) bilan aniqlanadigan yagona yechimga ega bo`ladi.