Iii bob. Oddiy differensial tenglamalarga qo`yilgan aralash masalani sonli yechish

3.3-§. Almashtirish samarasining ishorasi
Yuqorida o`ng progonka metodini ko`rib o`tdik. Almashtirish samarasi ishorasini e’tiborga olgan holda chap progonka metodi va qarama-qarshi progonka metodidan ayirmali masala (3.1) ni yechishda foydalanish mumkin. Chap progonka metodining algoritmi quyidagi ko`rinishga ega:
(3.9)
(3.10)

(3.11)

(3.12)
Haqiqatan ham

munosabat o`rinli deb hisoblab, ayirmali tenglama (3.1) ga ketma-ket

larni yo`qotib, quyidagi tenglamaga kelamiz:

Oxirgi tenglama ixtiyoriy larda qanoatlantirilishi uchun ushbu tengliklar bajarilishi lozim

Bundan formulalar (3.10), (3.11) ni hosil qilamiz. ning qiymatini va formulalardan aniqlaymiz, ya’ni
,
bundan
,
yoki

o`z navbatida, uchun ushbu formulani hosil qilamiz
.
Quyidagi tengsizliklardan ko`rinadiki,

shartlar (3.8) chap progonka metodi formulalarining qo`llanishi va hisoblash turg`unligini kafolatlaydi, chunki, barcha larda bo`ladi.
Chap va o`ng progonka metodini birlashtirib, qarama-qarshi progonka metodiga ega bo`lamiz. Faraz qilaylik , –to`rning biror-bir ichki tuguni bo`lsin. Bu holda sohada formulalar (3.2)-(3.7) bo`yicha progonka koeffisientlari lar hisoblanadi:

hamda sohada formulalar (3.9)-(3.12) asosida va lar aniqlanadi:

So`ngra nuqtada (3.2) va (3.9) formasidagi yechimlarni birlashtiramiz
,
bundan ning qiymatini ga qo`yib, ushbu formulaga ega bo`lamiz
.
Bu formula ma’noga ega bo`ladi, chunki,

bajariladi, bunga sabab, ushbu miqdorlardan yoki hech bo`lmaganda bittasi, (3.8) shartlarga asosan birdan kichik bo`ladi. Qiymat ni bilgan holda barcha larni bo`lganda formula (3.2) bo`yicha topish mumkin, formula (3.9) asosida ning qiymatlari da aniqlanadi. Qarama-qarshi progonga metodi ba’zan ning qiymatini faqat bitta tugunda hisoblashda foydali bo`lib hisoblanadi.