Iii bob. Абловиц-ладик тенгламасини чекли зичликликка эга функциялар синфида интеграллаш 1-§. Абловиц-Ладик тенгламалар системаси. Йост ечимлари

3.3-§. Марченко интеграл тенгламалар системаси
Қуйидаги учбурчак тасвирларни қараймиз
, (3.3.1)
(3.3.2)
Бунда бирлик матрица бўлиши шарт эмас. каби олсак (3.3.2) тенгликни (3.3.1) каби ифодалаш мумкин. (3.3.1), (3.3.2) тенгликларни қуйидаги кўринишда ифодалаш мумкин:
(3.3.3)
(3.3.4)
(3.3.5)
(3.3.6)
бунда ва функция қуйидагича аниқланган
(3.3.7)
Теорема. ўринли бўлиб, да бўлсин. У ҳолда ва хос функциялар (3.3.1) ва (3.3.2) тасвирларни қаноатлантиради ва ушбу
(3.3.8)
қатор яқинлашувчи бўлади ҳамда
(3.3.9)
симметрия муносабати ўринли бўлади.

каби ифодалаб, ва матрица элементлари учун
(3.3.10)
тенгликларни ёзиш мумкин. Бунда
Худди шундай
(3.3.11)
(3.3.12)
(3.3.13)
тенгликларни ёзиш мумкин.
Энди , матрица элемментлари ёрдамида спектрал масала потенциалини ифодаловчи тенгламаларни келтириб чиқарамиз.
Қайтиш ва акслантириш коэффициентлари ёрдамида
(3.3.14)
тенгликларни ёзамиз. Бунда

сочилиш матрицалари. Қуйидаги
(3.3.15)
тенгликларни қараймиз. Бу тенгликларнинг чап томони мос равишда ва аналитик функциялар ва чекзиликда мос равишда ва га интилади. Тенгликларни чап томони мероморф функциялар. Шунинг учун

бунда да узлуксиз ва да аналитик функциялар. да
(3.3.16)
тенгликларни ёзамиз. Бу тенгликлардан
(3.3.17)
келиб чиқади. Бунда
(3.3.18)
(130) да да аналитик ва
(3.3.19)
Агар тоқ блса бўлади. (3.3.17) ни қуйидаги
(3.3.20)
кўринишда қайта ҳисоблаш мумкин. Бунда

бўлгани учун .
Марченко интеграл тенгламалар системасининг ядроси
, (3.3.21)
, (3.3.22)
симметрия шартларини қаноатлантиради. Булар асосида Марченко интеграл тенгламасини
(3.3.23)
кўринишда ифодалаш мумкин. Бу тенгламани матрица компоненталари орқали ёзсак
(3.3.24)
тенгликларга эга бўламиз.
Мисол. хос қийматларга мос келувчи потенциални аниқлаймиз. Бунда . Нормалловчи ўзгармаслар

тенгликларни қаноатлантиради. Бунда ва . Булар асосида

тенгликларни ёзамиз. (3.3.24) тенгликлардан

келиб чиқади. Бунда

Охирги тенгликдан қуйидаги


тенгламалар системасига эга бўламиз.