Iii bob. Абловиц-ладик тенгламасини чекли зичликликка эга функциялар синфида интеграллаш 1-§. Абловиц-Ладик тенгламалар системаси. Йост ечимлари

III BOB. АБЛОВИЦ-ЛАДИК ТЕНГЛАМАСИНИ ЧЕКЛИ ЗИЧЛИКЛИККА ЭГА ФУНКЦИЯЛАР СИНФИДА ИНТЕГРАЛЛАШ

3.1-§. Абловиц-Ладик тенгламалар системаси. Йост ечимлари

Мазкур парагарафда потенциали чексизликда модули мусбат сонга тенг лимитга эга Абловиц-Ладик тенгламалар системаси учун сочилиш назариясининг тўғри ва тескари масаласига оид зарурий маълумотларни келтирамиз.
Захаров-Шабат тенгламалар системасида , , , , , алмаштиришлар орқали
(3.1.1)
Абловиц-Ладик тенгламалар системасини ҳосил қиламиз. Бунда , .
потенциал
(3.1.2)
шартларни қаноатлантиради. Бунда .
(3.1.1) тенгламалар системасининг потенциаллари фокусланган ҳолатга мос келувчи ҳолни қараймиз, яъни Бундан .
бирлик айлана бўлсин,
(3.1.3)
тўплам (3.1.1) тенгламалар системасининг узлуксиз спектрини ташкил этади.
Ушбу матрицанинг детирминанти 1 га тенг бўлиб
(3.1.4)
муносабат ўринли. да унитар матрица бўлади. Бундан
(3.1.5)
келиб чиқади. матрицани диогналлаштириш сони.
Теорема 3.1.1. (3.1.1) тенгламалар системасининг потенциали (3.1.2) шартни қаноатлантирганда сонларнинг бирортасига ҳам тенг бўлмаган ҳар бир да ушбу
(3.1.6)

асимптотикаларга эга бўлган ечимлари мавжуд ва ягонадир. Бу ечимларга Йост ечимлари дейилади. ва бу ечимлар
(3.1.7)
(3.1.8)
дискрет Волтер тенгламаларини қаноатлантиради.
Исбот. тенгликнинг (3.1.1) тенгламага қўйиб, да деб олсак,
(3.1.9)
тенгламага эга бўламиз. Бу тенгликда ўрнига қўйиб
(3.1.10)
тенгликни ҳосил қиламиз. (3.1.5) дан фойдаланиб, сонларнинг бирортасига ҳам тенг бўлмаган ҳар бир да
(3.1.11)
баҳога эга бўламиз. Бунда да
(3.1.12)
тенгликка эга бўламиз. Демак,
(3.1.13)
Охирги тенгликни ўзгартириб
(3.1.14)
тенгликка эга бўламиз. белгилаш киритсак,
(3.1.15)
баҳога эга бўламиз. Худди шундай учун да
(3.1.16)
баҳога эга бўламиз.
Худди шундай, ни (3.1.1) тенгламага қўйиб, да деб ҳисоблаб, (3.1.9) да ўрнига деб олиб
(3.1.17)
тенгликка эга бўлади. да
(3.1.18)
тенгликка эга бўламамиз. Бу ерда
. (3.1.19)
Демак,
. (3.1.20)
Бундан
(3.1.21)
келиб чиқади. Барча учун
(3.1.22)
баҳо ўринли бўлади.
Натижа 1. (3.1.1) тенгламалар системасининг потенциали (3.1.2) шартни қаноатлантирганда сонларнинг бирортасига ҳам тенг бўлмаган ҳар бир да ушбу
, (3.1.23)
(3.1.24)
тенгликлар ўринли бўлади. Бундан ташқари, да бу натижа бутун ларда ўринли бўлади.