|
2.Sterjenda issiqlik tarqalish masalasini matematik modellashtirish.
Issiqlik tarqalish jarayoni sodir boʻlayotgan uzunligi l boʻlgan sterjenni qaraylik.Sterjenning oʻqi sifatida Ox abssissa oʻqini olamiz.
Faraz qilaylik, ixtiyoriy vaqtda sterjenning barcha nuqtasida bir xil harorat saqlansin. Sterjenning ixtiyoriy x nuqtasining t vaqtdagi temperaturasini u = u(x, t) deb belgilaylik.
Agar sterjenning issiqlik sigʻimi c, uning zichligi , sterjenning issiqlik oʻtkazuvchanlik koeffitsiyentsi k hamda ichki issiqlik manbaining zichligi F boʻlsa, u holda u(x, t) funksiyats quyidagi bir oʻlchovli
c 00
issiqlik tarqalish tenglamasini qanoatlantirishini koʻrsatish qiyin emas.
Umuman olganda, c, p, k va F parametrlar x, i va u ning funksiyasi boʻladi. Koʻplab tadbiqiy masalalarda bu funksiyalarsterjenda temperaturaning oʻzgarisbi bilan juda sekin oʻzgaradi va c, p, k funksiyalar t vaqtga bogʻliq boʻlmaydi. Shuning uchun ular faqat x oʻzgaruvchining funksiyasi, F ni esa x va t ga bogʻliq deb olish mumkin.
Agar qaralayotgan l uzunlikdagi sterjen bir jinsli boʻlsa, u holda c, p, k funksiyalar oʻzgarmasga teng boʻladi va yuqoridagi tenglamani
Lu= (1)
koʻrinishda yozib olishimiz mumkin. Bu yerda
Agar sterjenning harorati barcha nuqtasida bir xil boʻlmasa, u holda sterjenda issiqlik oqimi sodir boʻladi. Bunda issiqlik oqimi sterjenning yuqori haroratli nuqtasidan past haroratli nuqtasi tomonga yoʻnalgan boʻladi.
Sterjenning x koʻndalang kesimi orqali birlik vaqtda Ox oʻqi boʻylab oʻtayotgan issiqlik miqdori uchun
formula, oʻrinli boʻladi. Bu yerda q(x,t) funksiyas issiqlik oqimining zichligi deyiladi.
Agar sterjenning xq nuqtasi orqali vaqtda issiqlik Ox oʻqi boʻylab tarqalayotgan boʻlsa, u holda q(x,t) funksiyasni ( ) nuqta atrofida musbat, aks holda manfiy deb olinadi.
Sterjenda issiqlik tarqalishini toʻla aniqlash uchun (1) tenglamaning oʻzi etarli boʻlmaydi. Buning uchun sterjemiing bosh- langʻich temperaturasini va uning uchlaridagi issiqlik rejimini bilish zarur boʻladi.
Faraz qilaylik, t = 0 vaqtda sterjenning x nuqtasidagi harorati boʻlsin. U holda
u(x,0) = 0 <= x< =l (2)
boshlangʻich shart beriladi.
Sterjenning x = 0 va x = l chetlarida uning harorati yold issiqlik oqimining zichligi maʼlum boʻlishi yoki atrof-muhit biian issiq- lik almashinish shartlarini berish mumkin.
Agar sterjeniiing x = 0 uchida temperatura va x = l uchida issiqlik oqimining zichligi maʻlum boʻisa, u holda
, (3)
chegaraviy shartlar beriladi.
Agar sterjenning x = 0 va x = l uchlarida issiqlik okimining zichiigi nolga teng boʻlsa, u holda sterjenning uchlari issiqlik oʻtkazmaydigan deyiladi.
Masalan, agar sterjenning x = l uchi issiqlik oʻtkazmaydigan boʻlsa, bu holda
(4)
chegaraviy shart beriladi.
Agar sterjenning uchlarida atrof-muxit bilan issiqlik almashinishi sodir boʻlayotgan boʻlsa, u holda birlik vaqtda sterjenning x kesimidan atrof-muhitga chiqayotgan issiqlik miqdori sterjenning temperaturasidan atrof-muhit temperaturasining ayrimasiga proporsionals boʻladi, yaʻni
bu yerda H - issiqlik almashinish koeffitsiyentsi, u - sterjenning, esa atrof muxitning temperaturasi.
Issiqlik oqimi zichligining fizikaviy xossasiga asosan sterjenning x = 0 va x = l uchlarida
(5)
(6)
issiqlik almashinish shartlarini olamiz.
Bu yurda mos ravishda va -sterjenning mos ravishda chap va o’ng
uchlarining issiqlik o’tkazuvchanlik koeffitsiyenti va mos ravishda sterjenning uchlari atrofidagi harorat.
Yuqoridagi (5) - (6) chegaraviy shartlarni quyidagi
(7)
(8)
Ko’rinishida yozib olish mumkin. Bu yurda
Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun yuqorida keltirilgan chegaraviy shartlarni umumiy holda
(9)
(10)
yozish mumkin. Bunda , , va — berilgan oʻzgarmaslar, ular uchun ushbu
tengsizliklar oʻrinli, va berilgan funksiyalar.
Agar va 0 boʻlsa, u holda (9), (10) shartlar
kurinishni oladi va ular birinchi tur chegaraviy shartlar deyiladi.
Agar va 0 boʻlsa, u holda (9). (10) shartlar ikkinchi tur chegaraviy shartlar deyiladi va ular
Ko’rinishda ifodalanadi.
Agar va 0 boʻlsa, u holda (9), (10) shartlar uchinchi tur chegaraviy shartlar deyiladi.
Misol. ( sterjenda issiqlik tarqalish masalasi.)
Issiqlik o’tkazuvchanligi (kkal/m2•coat•grad) bo’lgan metalldan yasalgan uzun va ingichka sterjen issislik muvozanati holatida turibdi, yaʼni sterjen
Nuqtalarining temperaturasi vaqtga qarab o’zgarmaydi.
Sterjen sirtidan temperaturasi = const bo’lgan atrof-muxitga issiqlik
sarf bo’lishi issiqlik uzatish koeffisiyentn (kkal/m2*soat*grad.) o’zgarmas bo’lgan temperaturalar farqiga preporsional. Sterjenning kundalang kesi-
mining barcha nuqtalaridagi v temneraturani o’zgarmas deb hisoblab, uning birorta uchdan (masalan, chap uchdan) boshlab hisoblangan koordinataga bog’lanishi ni toping.
Do'stlaringiz bilan baham: |
