Ii. Asosiy qism. Chegaraviy masalalar to’g’risida zaruruiy malumotlat Sterjenda issiqlik tarqalishi masalasini matematik modellashtirish III. Xulosa III. Foydalanilgan adabiyotlar

Yechilishi. Aytaylik, sterjenning uzunligi (metr), kundalang kesimining perimetri P (m) va bu kesimning yuzi Q bo’lsin. Sterjenning chap uchidan x masofada turgan uzunligi dx bo’lgan elementini ajratamiz va uning temperaturasini ga tenglaymiz. vaqt ichida bu elementning chap chegarasi orqali — issiklik miqdori o’tadi, o’ng chegarasi orqali ( u sterjenning uchidan x+dx masofada) — issiqlik mikdori o’tadi.
Shunday qilib, ajratilgan soxa vaqt ichida

—

Issiqlik miqdoriga ega bo’lib qoladi. Bu bilan bir paytda bu elementning sirt orkali atrof-muhitga issiqlik yo’qotishi quyidagicha


ga teng bo’ladi.
Jarayon statsionar deb qilgan farazimizga ko’ra bu miqdor ushbuga teng bo’ladi:


bu yerdan
(1)
bu yer da deb belgilangan. Berilishiga kura = const, shuning uchun deb, tenglamani

(2)
Ko’rinishga keltiramiz.
(2) tenglamaning umumiy yechimn quyidagicha bo’ladi;

(3)
bu yerdan (1) tenglama uchun umumiy yechimni

(4)
Ko’rinishda hosil qilamiz. Ixtiyoriy o’zgarmaslar berilgan masalada,
tabiiyki, chegaraziy bulgan shartlardan topiladi.

Aytaylik, masalan, sterjenning xar ikkala uchida va doimiy temperaturalar saqlab turilgan bo’lsin.

U holda chegaraviy shartlar quyidagicha bo’ladi:

, .
Ularni (4) ga qo’yib,



ni topamiz. Bu sistemani Q va o’zgarmaslarga nisbatan yechib, quyidagini topamiz:

(5)
Berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan xususiy yechim (6) qiymatlarni (4) umumiy yechimga Quyish bilan Hosil qilinadi. Sodda uzgartirishlardan so’ng ushbu ifodani hosil qilamiz:

(6)

Bu yerda, yuqorida belgilaganimizdek

(6) ifodani tahlil qilish kiziqarli va kutilmagan natijaga olib keladi sterjen nuqtalarining temperaturasi o’ng (sovuqroq) uchdagi temperaturadan past, a kattalik qancha katta bulsa, bu minimum shunchalik keskin bo’ladi.
No’lga yaqin a da yechim chiziqli yechimga yaqin bo’lib, minimumga ega bo’lmaydi.

Sonli hisoblashlarni bajaraylik. Sterjen l = 1 m uzunlikdagi tomoni

b=5,52 sm = 0,0552 mm bo’lgan kvadratdan iborat ko’ndalang kesimga ega bo’lsin. U holda


Undan tashqari = 330 (mis uchun).

= 10 , = 0, 200, = 100.
Bu maʼlumotlar uchun


Maʼlumki, natijada (6) xususiy yechim ushbu ko’rinishda bo’ladi;

Funksyaning qiymatlarini hisoblab quyidagilarni hosil qilamiz

Bu qiymatlardan ko’rinishicha, minimum sterjenning o’ng (sovuq) uchi yaqinida bo’lar ekan.
.

xulosa