И здан и е второе, стереотипное

§ 2. Характеристики. Соотношение 
между данными Коши на характеристике
Рассмотрим уравнение в частных производных второго по­
рядка
57}дГь + ф (*• 
5Ft ....... g£~) - 0, 
W
линейное относительно старших производных. Составим урав­
нение первого порядка
АМ * ) д
щ £ к = о . 
(2)
Оно называется уравнением характер истик дифференциаль­
ного уравнения ( 1). Если функция ш(jct 
. . . , дгт ) удов­
летворяет уравнению характеристик, то поверхность (в слу­
чае двух измерений — линия), определяемая уравнением
<•>(#!, X* ... , X т ) — С, 
(3)
где С — произвольная постоянная, называется характеристи­
ческой поверхностью (соответственно характеристической 
линией) или характеристикой данного дифференциального 
уравнения ( 1).
Формально уравнение характеристик строится так: надо 
составить квадратичную форму
(At, t) = Ajktjtk, 
(4)
соответствующую матрице А старших коэффициентов урав­

---

нения ( 1). положить в этой форме tk=
и полученное вы­
ражение приравнять нулю.
Отметим важное свойство характеристик: они инвариантны 
при преобразовании независимых переменных. Это означает 
следующее: если ш(jfj, x v 
х т ) есть решение уравнения
( 2) и если преобразование независимых переменных ( 1.2) пере­
водит функцию 
Х ч,.
х т ) в функцию «>(?!, 
Em), 
то эта новая функция есть решение уравнения
~
а
> 4 Л = ° >
<
2а>
которое является уравнением характеристик для преобразо­
ванного дифференциального уравнения (1.4).
Действительно,
д<л __ д<л д£г 
ди> __ d£s
dxj 
<%r 5jc/’ 
&xk 
&xb'
Подставив это в уравнение (2) и воспользовавшись форму­
лой (1.3), найдем, что ш удовлетворяет уравнению (2а).
Уравнение эллиптического типа не имеет вещественных 
характеристик. Действительно, если уравнение (1) — эллипти­
ческое, то квадратичная форма (4) — определенная и обра­
щается в нуль (при вещественных £*) только тогда, когда 
ti = ti = . ,. = tm =  0. В таком случае уравнение характери­
стик имеет решением только u> = const, что не определяет 
никакой поверхности.
Покажем, что на характеристической поверхности данные 
Коши связаны некоторым соотношением. Отсюда будет сле­
довать, что на характеристической поверхности данные Коши 
нельзя задавать независимо.
Пусть данные Коши заданы на достаточно гладкой по­
верхности Г, определяемой уравнением
E(xi, х ь . .., х т ) —  0, 
(5)
и имеют следующий вид:
и | г = < М х ), 
щ  Г = <М*)- 
(6)
где X — направление, некасательное к Г. Как было выяснено 
в § 4 гл. 9, зная данные (6), можно найти значения всех пер­
вых производных функции и на поверхности Коши Г,

---

Введем новую систему координат. Координаты 
£9, ..., 
введем произвольно, a 
положим равным 5; выбирая коор­
динаты Sj, £s, 
5т л> позаботимся только о том, чтобы пре­
образование было взаимно однозначным с отличным от нуля 
якобианом и чтобы функции %г имели непрерывные вторые 
производные. В новых координатах уравнение поверхности 
Коши Г принимает особо простую форму £т = 0.
Допустим теперь, что Г — характеристическая поверхность, 
т. е. что
A jk ~ f - = 0.
}к dxj дхк
д‘и
В переменных Ьг коэффициент при производной 
тогда
т
обращается в нуль, и каше уравнение по отношению к пе­
ременной £те есть уравнение первого порядка.
Покажем, что на поверхности Г можно вычислить все 
производные, входящие в преобразованное уравнение ( 1), 
исходя только из данных Коши. Действительно, величина
ди
и | г = >
|>
о (-*0 известна.Первые производные 
г можно оп­
ределить так, как об этом сказано выше. Вторые производ­
ные, не содержащие двукратного дифференцирования по ?т , 
можно найти, дифференцируя первые производные по £,,
• • • >